专题2.3 解直角三角形（知识讲解）-2020-2021学年九年级数学学业提升专题讲练（全国通用）

专题2.3 解直角三角形（知识讲解） 【问题探索】 问题：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（如图）。你能求出斜面钢条的长度和倾角α吗？ 变：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α（如图）。 你能求出斜面钢条的长度和设计高度h吗？ 【新课引入】 在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫解直角三角形. 在三角形中共有几个元素？ 直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ （1）三边之间关系：a2 +b2 =c2 （勾股定理）. （2）锐角之间关系∠A+∠B=90°． （3）边角之间关系： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 【精选例题】 （一）求直角三角形中的边和角 解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角（两个已知元素中至少有一条边） 例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。解下列直角三角形： （1）已知a=3，b=3， （2）已知c=8，b=4， （3）已知c=8，∠A=45°。 解析： （1）已知两直角边的长，根据勾股定理可求斜边c=，由三角函数公式可求sinA=，推出A=45°，根据“直角三角形两锐角互余”可求B=45°； （2）已知斜边和一直角边，由勾股定理求得另一直角边a=4，通过三角函数公式求角度sinA=，可知A=60°，根据“直角三角形两锐角互余”得B=30°； （3）已知斜边和一锐角，根据“直角三角形两锐角互余”得B=45°，由三角函数公式可知a=csin45°=4，b=ccos45°=4。 反思小结： ①已知一锐角求另一锐角——“直角三角形两锐角互余”； ②已知直角三角形的两边求第三边——勾股定理； ③已知一边和一锐角——三角函数公式 三角函数公式可变形为：a=csinA，b=ccosA，a=btanA， c=，c=，b= 例2 在中，， ，是上一点，若，，试求。 解析： 先由勾股定理求得BC==8，再根据三角函数可求DC=BCtan∠DBC=4，即可求出AD=AC—DC=2. 反思小结： 本题用方程求解也可，解题过程如下： 在RtABC中，由勾股定理得：BC==8， 设AD=x，则在RtDBC中，由三角函数可知：tan=，=。 解得：x=2，即：AD=2。 由方程求解时，列方程的