专题2.3 解直角三角形（知识讲解）-2020-2021学年九年级数学学业提升专题讲练（全国通用）
专题2.3 解直角三角形（知识讲解）
【问题探索】
问题：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（如图）。你能求出斜面钢条的长度和倾角α吗？
变：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α（如图）。
你能求出斜面钢条的长度和设计高度h吗？
【新课引入】
在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫解直角三角形.
在三角形中共有几个元素？
直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
（1）三边之间关系：a2 +b2 =c2 （勾股定理）.
（2）锐角之间关系∠A+∠B=90°．
（3）边角之间关系：
正弦函数：
余弦函数：
正切函数：
【精选例题】
（一）求直角三角形中的边和角
解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角（两个已知元素中至少有一条边）
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。解下列直角三角形：
（1）已知a=3，b=3，
（2）已知c=8，b=4，
（3）已知c=8，∠A=45°。
解析：
（1）已知两直角边的长，根据勾股定理可求斜边c=
，由三角函数公式可求sinA=
，推出
A=45°，根据“直角三角形两锐角互余”可求B=45°；
（2）已知斜边和一直角边，由勾股定理求得另一直角边a=4
，通过三角函数公式求角度sinA=
，可知A=60°，根据“直角三角形两锐角互余”得B=30°；
（3）已知斜边和一锐角，根据“直角三角形两锐角互余”得B=45°，由三角函数公式可知a=csin45°=4
，b=ccos45°=4。
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反思小结：
①已知一锐角求另一锐角——“直角三角形两锐角互余”；
②已知直角三角形的两边求第三边——勾股定理；
③已知一边和一锐角——三角函数公式
三角函数公式可变形为：a=csinA，b=ccosA，a=btanA，
c=
，c=
，b=
例2 在
中，
， 
，
是
上一点，若
，
，试求
。
解析：
先由勾股定理求得BC=
=8，再根据三角函数可求DC=BCtan∠DBC=4，即可求出AD=AC—DC=2.
反思小结：
本题用方程求解也可，解题过程如下：
在Rt
ABC中，由勾股定理得：BC==8，
设AD=x，则在RtDBC中，由三角函数可知：tan
=
，
=
。
解得：x=2，即：AD=2。
由方程求解时，列方程的依据是等量关系——三角函数公式。
变式训练：
1．已知直角三角形
中，斜边
的长为
，
，则直角边
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a=
，b=
，解这个三角形．
4．如图，正方形
中，
是边上一点，以为圆心、
为半径的半圆与以
为圆心，为半径的圆弧外切，则
的值为 。（写明理由）
答案：
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1．B；
2．D；
3．在Rt△ABC中，由勾股定理得：C=
=2
sinA=
=，∠A=30°。∠B=60°。
4．设两圆半径分别为R和r，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：
，
。=
=
=
。
（二）构造直角三角形求边角
例3 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10米，
∠A=26°，求中柱BC（C为底边中点）和上弦AB的长。
（精确到0.01米，tan26º=0.4877,cos26º=0.8988）
解析：
先由等腰三角形的性质可知中柱BC垂直平分横梁（跨度），即可把等腰三角形分成两个全等的直角三角形；再运用三角函数解直角三角形ABC，即可。
解答：人字架是等腰三角形，BC是中柱，
BC垂直平分横梁
即：
是直角三角形，AC=5 m
tanA=
，cosA=
即：BC=ACtanA=5
0.4877
2.44
AB=
=
5.56
答：中柱BC的长约为2.44米，上弦AB的长约为5.56米。
反思小结：
此题先要理解“中柱”的含义——底边上的中线，其次能立即想到等腰三角形“三线合一”的性质找出直角三角形，最后才能运用三角函数解直角三角形。
例4 已知△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，
且BD：CD=4：3，求sinB的值。
解析：
山穷水尽疑无路：首先想到“∠B是Rt△ABC的一个锐角，sinB=”，再苦思冥想AC、AB、BC三边之间的数量关系，总是不得其解。
回头是岸：前面思路是由于审题时急功近利，过多的关注问题，没有仔细分析题目的条件，把自己带入了死胡同。解题不能“狭路相逢——勇者胜”，应该及早醒悟，回头是岸！
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