专题2.5 锐角三角函数的应用（知识讲解）-2020-2021学年九年级数学学业提升专题讲练（全国通用）
专题2.5 锐角三角函数的应用（知识讲解）
【知识回顾】
1．请把三个三角函数公式写出来；
2．几组特殊角的三角函数值分别是多少？
【新课引入】
一、仰角、俯角的定义
如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．右图中的∠2就是仰角，∠1就是俯角．
二、坡角、坡度的定义
坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i，即i＝
，坡度通常用1:m的形式，例如上图的1:2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。
从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。
【总结归纳】
在解答三角函数应用题时，通常都能把它们化归到以下几个几何模型：
通过作高，把一般三角形或梯形构造出两个直角三角形，在两个三角形中分别运用三角函数的知识进行解答。
【精选例题】
（一）仰角与俯角
例1 为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为30°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为45°．若小明的眼睛离地面1.6m ，小明如何计算气球的高度呢（精确到0.01m）
解析：
1、由题目可知道，气球的高度就是CD的长加上小明的眼睛离地面1.6m．
2、假设CD为h m，BD为x m，在Rt△ADC和Rt△BDC利用正弦列出两个方程求出.
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解答：设CD为h m，BD为x m，
在Rt△ADC中，
①
在Rt△BDC中，
②
整理①、②得方程：
（x+50）=x
解得：h=x=
≈68.31
68.31+1.6=69.91
答：气球的高度约为69.91米。
反思小结：
此题是在两个直角三角形中，运用三角函数列出边角关系，设两个未知数列两个方程求解的。但是它也可以设一个未知数，在两个直角三角形中，运用边角关系（三角函数）分别把AD、BD用含h的代数式表示出来，代入等量关系：AD—BD=AB，得到一个方程，进行求解。
例2 坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．
（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高．图1为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点
，用测角仪测出看塔顶（M）的仰角
，在点和塔之间选择一点
，测出看塔顶（M）的仰角
=45°，然后用皮尺量出、两点间的距离为18.6m，量出自身的高度为1.6m．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan35°≈0.7，结果保留整数）．
（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影
的长为am（如图2），你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：
①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是： ；
②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ ．
解析：
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（1）设CD的延长线交MN于E点，MN长为x，根据题意构造直角三角形，利用其公共边构造方程求解．
（2）根据题目中的情景，结合解三角形的知识设计测量方法．
解答：（1）设CD的延长线交MN于E点，MN长为x，
则ME=x-1.6．
∵β=45°，
∴DE=ME=x-1.6．
∴CE=x-1.6+18.6=x+17．
∵
=tanα=tan35°，
∴
=0.7，
解得x=45．
∴太子灵踪塔（MN）的高度为45m．
（2）①测角仪、皮尺；
②站在P点看塔顶的仰角、自身的高度．
反思小结：
该题是一道关于测量的操作实验题，它一共告诉我们两种测量方法：
①当AN的长度不能测量时，采用在A、B两点处进行测量，在两个直角三角形中，运用边角关系列出方程进行求解；
②当AN的长度能够测量时，采用在A点一处进行测量，在一个直角三角形中，运用边角关系直接求解。
变式训练：
1．在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）
2．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为
，看这栋高楼底部的俯角为
，热气球与高楼的水平距离为60 m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m，参考数据：
）
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