专题2.5 锐角三角函数的应用（知识讲解）-2020-2021学年九年级数学学业提升专题讲练（全国通用）

专题2.5 锐角三角函数的应用（知识讲解） 【知识回顾】 1．请把三个三角函数公式写出来； 2．几组特殊角的三角函数值分别是多少？ 【新课引入】 一、仰角、俯角的定义 如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．右图中的∠2就是仰角，∠1就是俯角． 二、坡角、坡度的定义 坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i，即i＝，坡度通常用1:m的形式，例如上图的1:2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。 从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。 【总结归纳】 在解答三角函数应用题时，通常都能把它们化归到以下几个几何模型： 通过作高，把一般三角形或梯形构造出两个直角三角形，在两个三角形中分别运用三角函数的知识进行解答。 【精选例题】 （一）仰角与俯角 例1 为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为30°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为45°．若小明的眼睛离地面1.6m ，小明如何计算气球的高度呢（精确到0.01m） 解析： 1、由题目可知道，气球的高度就是CD的长加上小明的眼睛离地面1.6m． 2、假设CD为h m，BD为x m，在Rt△ADC和Rt△BDC利用正弦列出两个方程求出. 解答：设CD为h m，BD为x m， 在Rt△ADC中， ① 在Rt△BDC中， ② 整理①、②得方程：（x+50）=x 解得：h=x=≈68.31 68.31+1.6=69.91 答：气球的高度约为69.91米。 反思小结： 此题是在两个直角三角形中，运用三角函数列出边角关系，设两个未知数列两个方程求解的。但是它也可以设一个未知数，在两个直角三角形中，运用边角关系（三角函数）分别把AD、BD用含h的代数式表示出来，代入等量关系：AD—BD=AB，得到一个方程，进行求解。 例2 坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子． 　　（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高．图1