专题1.3 二次函数的图象和性质（知识讲解）-2020-2021学年九年级数学学业提升专题讲练（全国通用）

专题1.3  二次函数的图象和性质（知识讲解）

【问题探索】

还记得一次函数和反比例函数图象是如何画的么？它们是如何根据图象理解其性质的？

那么二次函数的图象是什么形状？它有什么性质？ 

【新课引入】 

用描点法画出二次函数的图象，并观察图象的特征。

（1）          列表：根据函数的自变量可以是任意实数，所以选取自变量的值，并计算出对应值，并填入下表：

(2)描点法：表中每个为点的横坐标，对应的值为点的纵坐标，在图（1）平面直角

坐标系中描出相应的点；

（3）连线：用平滑的曲线顺次连接所描的点，即为二次函数的图象。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

注意：一般地，选点越多，图象越精确，但也要具体情况具体分析。

提问：1、二次函数的图象和性质是什么？

2、在上图（2）的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；

3、二次函数与图象有什么共同特征？

回答：通过画图象，并分析观察，我们知道二次函数与的图象都是关于

轴对称的曲线，它们的开口方向向上或者向下，但形状都是抛物线。

 

回顾与反思 抛物线是轴对称图形，每条抛物线都有一条对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。

探索 二次函数的图象和性质。

通过画图我们可以知道二次函数具体如下性质：

图象
开口方向	向上	向下
顶点坐标	（0，0）	（0，0）
对称轴	轴所在的直线	轴所在的直线
增减性	当时，随的增大而增大；当时，随的增大而增小。	当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。
最大（小）值	时，	时，

 

说明：（1）抛物线的性质是从它的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性和最大（小）值几个方面来探索的。

     （2）抛物线开口向上时，顶点坐标是最低点；抛物线开口向下时，顶点坐标是最高点。

     （3）抛物线的形状是由来确定的，一般来说，越大，抛物线的开口就越小；

     （4）抛物线的对称轴是一条直线，抛物线的对称轴是轴，也可以说

是直线。

探索  抛物线与的关系。

抛物线与的形状相同，但位置不同。当时，可由抛物线沿轴向右平移个单位长度；当时，可由抛物线沿轴向左平移个单位长度。

探索  抛物线与的关系。

抛物线与的形状相同，但位置不同。抛物线的图象经过平移（向左或向右平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度），可以得到抛物线。

图象

【总结归纳】 

一、二次函数的最值问题和增减性：

系数a的符号	时， 最值	增减性
a＞0	最小值	时y随x的增大而减小.
a＜0	最大值	时y随x的增大而增大.

二、二次函数的平移

平移不改变抛物线的形状和大小，改变的只是位置，下面以抛物线为例简单说明

（1）上下平移： 

（2）左右平移：

（3）符合平移：