专题1.5 二次函数与一元二次方程（知识讲解）-2020-2021学年九年级数学学业提升专题讲练（全国通用）

专题1.5  二次函数与一元二次方程（知识讲解）

【问题探索】

王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中（m）是球的飞行高度，（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m．

（1）请求出球飞行的最大水平距离。

（2）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．

答案：（1）令，得： 解得：，

球飞行的最大水平距离是8 m．

（2）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10 m

抛物线的对称轴为，顶点为

设此时对应的抛物线解析式为

又点在此抛物线上，   解得：

 

【新课引入】

提问：

1、二次函数与轴的交点坐标是什么？

答案：二次函数与x轴的交点坐标。

令，即

         解得：

所以二次函数与x轴的交点坐标为和

2、一解元二次方程

答案：   解：  

             解得，

由此可知：当时，，即，也就是说，是一元二次方程的一个根。

          同样，当时，，即，也就是说，是一元二次方程的另一个根。

总结：一般地，如果二次函数的图象与轴有两个公共点、，那么一元二次方程有两个不相等的实数根、。 反之也成立。

【总结归纳】 

一、二次函数图象与一元二次方程的关系

一般地，二次函数的图象与一元二次方程的根有如下关系：

  1、如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根；

  2、如果二次函数的图象与x轴有且只有一个公共点，那么一元二次方程有两个相等的实数根；

  3、如果二次函数的图象与x轴没有公共点，那么一元二次方程没有实数根；

二、二次函数与一元二次方程的关系

   决定抛物线与x轴交点的个数

  1、        抛物线与x轴有两个交点；

 2、        抛物线与x轴只有一个交点；

3、        抛物线与x轴没有交点。

三、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系

  关系图表所示如下：

判别式	二次函数			一元二次方程	一元二次不等式或的解集
	图象		与轴的交点坐标
			抛物线与x轴交于两点，且	一元二次方程有两个不相等的实数根	的解集为
					的解集为
					的解集为
					的解集为
			抛物线与x轴相切于这一点，此时称抛物线与x轴相切	一元二次方程有两个相等的实数根	的解集为的所有实数
					不等式无解
					不等式无解
					的解集为所有实数

（1）          若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围。

（2）          若抛物线的顶点在x轴上，求k的取值。

4、已知函数．

（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同交点；

（2）若函数有最小值，求函数表达式．

答案：

1、一； 4 。      2、Ｃ

3、在一元二次方程中，

（1）△=

∴当k<5时，抛物线与x轴有两个不同的交点。

（2）△=，∴k=5时，抛物线的顶点在x轴上。

4、（1），不论为何值时，都有，此时二次函数图象与轴有两个不同交点．

（2），，或，

所求函数式为或。

（二）二次函数图象和一元二次方程的关系

例2. 二次函数的图象如图1所示，则的取值范围是（　　）

A、＞3          B、＜3   

C、0≤＜3   D、0＜＜3

解析：

观察图1，抛物线与轴有两个不同的交点．

根据二次函数与一元二次方程的转化关系，得

一元二次方程有两个不相等的实数根．

∴＝＞0．解得＜3．

又∵抛物线开口向上，∴＞0．∴的取值范围是0＜＜3，选D．