1.2.2空间中的平面与空间向量向量 课件-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修一

1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.2空间中的平面与空间向量 1.平面的法向量的概念 α l A B 记作 ⊥ α 则 ⊥ AB （1）为 ⊥ α 2.空间中线面关系与平面的法向量 α l α l // l ⊥α； ⊥ l //α或l ⊥α // //β或β重合 ⊥ ⊥ α α 2.空间中线面关系与平面的法向量 例1.已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷 −𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝑀，N分别是A1B与A1C1的 中点．求证：𝑀N//面ADD1A1. （教材） A B C D 𝑀 N x y z 以 A为坐标原点、AB为 x轴、AD为 y轴、𝐴𝐴1为 z轴 ,建立如图的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则 M(,0,), N(,)，= (0,,) 显然= (1,0,0)是面ADD1A1的一个法向量， 由 · = 0，可知 ， 所以 𝑀N//面ADD1A1. 由图知 𝑀N面ADD1A1 3.平面的法向量的求法 例2：已知空间直角坐标系中，A（3,0,0），B（0,5,0）， C（0,0,1），求平面ABC的一个法向量。（教材改编） A B C O x y z 由条件 = (-3,5,0), = (-3,0,1)， 解：设 = (x,y,z)是面ABC的一条法向量 则 ·= -3x+5y = 0， ·= -3x+z = 0， 解得 令x=5, 则= (5,3,15)是平面ABC的一个法向量。 1.已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷 −𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，求证：面A1BD//面CB1D1.（金） x y z 题型一：证明平行问题 建立如图的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， A B C D 则 B(1,1,0), A1(1,0,1), C(0,1,0)，D1(0,0,1), B1(1,1,1) 故 = (1,0,1), = (1,1,0)， = (1,1,0), = (0,1,−1)， 设 = (x,y,z)是面A1BD的一条法向量 则 ·= x+y = 0， ·= x+z = 0， 令x=-1, 则= (-1,1,1)是平面A1BD的一个法向量。 同理可得平面B1D1C的一个法向量= (-1,1,1)。 // 面A1BD//