专题04 求轨迹方程的三种重要方法-2020-2021学年高中数学之圆锥曲线解题技法全指导

求轨迹方程的三种重要方法 求轨迹方程是解析几何中的重要题型，为了更好地掌握好这种题型，先归纳一下常用的几种方法。 1、 一般法 求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为，轨迹方程就是之间的等式，关键是找到等量关系，然后用表示。推导圆、圆锥曲线等的标准方程都用了这种方法。 例1. 点A(0，2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线． 变式.已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5． (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记(1)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线被C所截得的线段的长为8，求直线的方程． 二、相关点代入法 例2.已知点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上运动，N(4，0)，点P(x，y)为线段MN的中点． (1)求点P(x，y)的轨迹方程； (2)求点P(x，y)到直线3x＋4y－86＝0的距离的最大值和最小值． 变式．P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，求动点Q的轨迹方程． 三、定义法 例3．已知点A(－，0)，B是圆F：(x－) 2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程． 变式．如图，已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆P过B点且与圆A内切，设动圆P的半径为r，求圆心P的轨迹方程． 小试牛刀 1．动点P到两定点A(－3,0)、B(3,0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为________． 2与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________. 3.点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点的轨迹方程. (2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程. 4．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 5. 如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程． 6．已知点A(0，)和圆O1：x2＋(y＋)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 求轨迹方程的三种重要方法 求轨迹方程是解析几何中的重要题型，为了更好地掌握好这种题型，先归纳一下常用的几种方法。 1、 一般法 求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为，轨迹方程就是之间的等式，关键是找到等量关系，然后用表示。推导圆、圆锥曲线等的标准方程都用了这种方法。 例1. 点A(0，2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线． 分析：本题可用求轨迹方程的一般法，先有几何性质得到等式|OB|2＝|MO|2＋|MA|2 然后通过两点间的距离公式转化为之间的等式。 .解：设点M(x，y)．M是弦BC的中点，故OM⊥BC，又因为∠BAC＝90°，所以|MA|＝|BC|＝|MB|.因为|MB|2＝|OB|2－|OM|2，所以|OB|2＝|MO|2＋|MA|2， 即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，即x2＋(y－1)2＝7. 所以所求轨迹为以(0，1)为圆心，以为半径的圆． 变式.已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5． (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记(1)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线被C所截得的线段的长为8，求直线的方程． 解： (1)由题意，得＝5．＝5，得x2＋y2－2x－2y－23＝0， 即，所以点M的轨迹方程，轨迹是以为圆心，以为半径的圆． ⑵当直线的斜率不存在时，直线的方程为。 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到的距离。由题意得，， 解得。∴直线l的方程为x－y＋＝0．即5x－12y＋46＝0． 综上，直线l的方程为x＝－2，或5x－12y＋46＝0． 二、相关点代入法 例2.已知点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上运动，N(4，0)，点P(x，y)为线段MN的中点． (1)求点P(x，y)的轨迹方程； (2)求点P(x，y)到直线3x＋4y－86＝0的距离的最大值和最小值． 分析：本题的第一问可用求轨迹方程的相关点代入法，P(x，y)与M(x0，y