专题03 利用抛物线定义巧求最值-2020-2021学年高中数学之圆锥曲线解题技法全指导

利用抛物线定义巧求最值 有关抛物线的题目，常常考查利用抛物线定义求最值。下面结合实例归纳总结如下： 一、将点到线的距离转化为点到焦点的距离 利用抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离转化为点到焦点的距离。 例1．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为(　　) A. B．＋1 C.－2 D．－1 变式．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)． A．2 B．3 C. D. 二、将点到焦点的距离转化为点到准线的距离 利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离 例2．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P的坐标为(　　) A. B. C．(1,2) D．(1，－2) 变式．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． 小试牛刀 1．已知P为抛物线y2＝4x上一动点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，则|PA|＋d的最小值为(　　) A．4 B. C.－1 D.－1 2．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A. B.3 C. D. 3．F是抛物线y2＝2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3,1)是定点，则|PF|＋|PA|的最小值是(　　) A．2 B． C．3 D． 4.抛物线的准线与轴交于点,焦点为点,点是抛物线上的任意一点, 令 ,则的最大值为（ ） A． B． C．1 D。2 5．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(2,2)是一个定点，则|MP|＋|MF|的最小值是____________. 6．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 利用抛物线定义巧求最值 有关抛物线的题目，常常考查利用抛物线定义求最值。下面结合实例归纳总结如下： 一、将点到线的距离转化为点到焦点的距离 利用抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离转化为点到焦点的距离。 例1．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为(　　) A. B．＋1 C.－2 D．－1 答案：D 解析：设抛物线焦点为F，过P作PA与准线垂直，垂足为A，作PB与l垂直，垂足为B，则d1＋d2＝|PA|＋|PB|－1＝|PF|＋|PB|－1，显然当P、F、B三点共线(即P点在由F向l作垂线的垂线段上)时，d1＋d2取到最小值，最小值为－1. 变式．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)． A．2 B．3 C. D. 答案：A .解析：直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离， 即dmin＝＝2，故选择A. 二、将点到焦点的距离转化为点到准线的距离 利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离 例2．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P的坐标为(　　) A. B. C．(1,2) D．(1，