专题02 巧求圆锥曲线的方程-2020-2021学年高中数学之圆锥曲线解题技法全指导

巧求圆锥曲线的方程 一、已知椭圆或双曲线上两点求圆锥曲线的方程 例1. 设椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，且过点，. 求椭圆的方程； 变式.已知双曲线过点和，则双曲线的标准方程为( ) A. B. C. D. 二、已知渐近线方程求双曲线方程 例2．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________． 分析：不知双曲线的焦点在哪个轴上，一个解法是直接设为x2－4y2＝λ(λ≠0)；再一个解法是先由点(4，)和渐近线y＝±x的位置确定焦点在哪个坐标轴上。 变式．以y＝±x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为________． 小试牛刀 1. 过两点.的双曲线的标准方程为______________. 2．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)． 3．设椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，且过点，. （1）求椭圆的方程； （2）设直线l的方程为：，点A为椭圆在x轴正半轴上的顶点，过点A作， 垂足为M，点B在椭圆上（不同于点A）且满足：，求直线l的斜率k. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 巧求圆锥曲线的方程 一、已知椭圆或双曲线上两点求圆锥曲线的方程 例1. 设椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，且过点，. 求椭圆的方程； 分析：不知焦点在哪个轴上，一个解法是分类讨论，分焦点在x轴和y轴两种情况去做；再一个解法是不用分类讨论，直接设为且的形式。 解法1：①设椭圆的方程为。 ∵在，.椭圆上， 与矛盾，故此时不成立。 ②设椭圆的方程为。 ∵在，.椭圆上， 故椭圆的方程为. 综上，椭圆的方程为. 解法2：（1）设椭圆的方程为且， ∵在，.椭圆上， ∴，解之. 则椭圆的方程为. 点评：显然解法2比解法1要简单得多，故以后我们尽量用解法2去做！ 变式.已知双曲线过点和，则双曲线的标准方程为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为.因为两点在双曲线上，所以，解得，于是所求双曲线的标准方程为.故选B. 二、已知渐近线方程求双曲线方程 例2．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________． 分析：不知双曲线的焦点在哪个轴上，一个解法是直接设为x2－4y2＝λ(λ≠0)；再一个解法是先由点(4，)和渐近线y＝±x的位置确定焦点在哪个坐标轴上。 答案：－y2＝1　 解法1：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为 x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4， ∴双曲线的标准方程为－y2＝1. 解法2：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而＜2，∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)． ∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)． 由已知条件可得解得 ∴双曲线的标准方程为－y2＝1.] 变式．以y＝±x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为________． 答案：－＝1　[以y＝±x为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2,0)得λ＝4，∴x2－y2＝4，即－＝1.] 小试牛刀 1. 过两点.的双曲线的标准方程为______________. 答案： 解析：∵双曲线的焦点位置不定， ∴设双曲线的方程为. ∵点在双曲线上，∴， 解得，∴所求双曲线的标准方程为 2．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)． 2．解：(1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，因为＝，所以a＝5，b＝＝12.故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝ ①.因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1②.联立①②，无解． 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 则＝.③，∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1④。由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∴所求双曲线的标准方程为－＝1. 法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为－＝1. 3．设椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，且过点，. （1）求椭圆的方程； （2）设直线l的方程为：，点A为椭圆在x轴正半轴上的顶点，过点A作，垂足为M，点B在椭圆上（不同于点A）且满足：，求直线l的斜率k. 3．解：（1）设