专题01 帮你做好离心率的题目-2020-2021学年高中数学之圆锥曲线解题技法全指导

帮你做好离心率的题目 求离心率或离心率的范围是圆锥曲线的重要题型，下面结合实例归纳总结一下。简单的一般是先求出a,c，再由求出。更一般的是，先得到关于a,b,c的方程（不等式），再利用，得到关于a,c齐次方程（不等式），再得到关于e的方程（不等式），从而求出离心率或离心率的范围。关键是如何找到a,b,c的方程（不等式），可以分为代数法和几何法，代数法是指用代数的方法得到关于a,b,c的方程（不等式）,几何法是指利用几何性质得到关于a,b,c的方程（不等式）。能利用几何性质时，比单纯利用代数法要简单。 注椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率． 一、直接求出、，求解 已知圆锥曲线的标准方程或易求时，可利用率心率公式来解决。也可用变形形式，在椭圆中；在双曲线中。 例1.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案：A 解法1：双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A 解法2：由渐近线方程可得，。故选A 变式.设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线离心率为（ ） A B C D 答案：B 解析：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴ 离心率，选B。 例2．已知双曲线 ，若焦点关于直线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ） A. B2 C. D.3 分析：解法1：由几何图形找到a,b,c的关系。解法2：表示出F的对称点的坐标，代入另一条渐近线方程得到关于a,b,c的方程。 解法1（几何法）：如图设两条渐近线及x轴间的夹角分别为∠1，∠2,∠3. 则， 。 解法2（代数法）：设F的对称点M的坐标为，则，解得 。将代入得，，化简得， ，。 点评：解法1（几何法）方法简单，但思路不好想；解法2（代数法）思路自然，但运算较繁。我们应首先考虑用几何法，不行时再考虑用代数法。 变式．【2015高考浙江，文15】椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ． 分析：表示出对称点的坐标，代入圆的方程得到关于a,b,c的方程。 解法1（代数法）：设关于直线的对称点为，则有，解得，所以在椭圆上，即有，解得，所以离心率。 分析：利用几何性质得到关于a,b,c的方程。 解法2（几何法）：设椭圆的左焦点为，∥OP, ①，②，③，由①②③得。 二、构造、的齐次等式，解出 根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。 例3. 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 。 解析：设F(－c,0)　B(0，b)则KFB＝，与直线FB垂直的渐近线方程为 y＝－x，∴ ＝，即b2＝ac，又b2＝c2－a2，∴有c2－a2＝ac，两边同除以a2得 e2－e－1＝0∴e＝，∵e＞1，∴e＝，选D. 变式.设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，又, ∴,两边平方，得，整理得，得或，又 ， ∴，∴，∴，故选A 三、构建关于的不等式，求的取值范围 例4．已知双曲线（）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A B C D 答案：C 解析：双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e2=，∴ e≥2，选C 变式. 已知双曲线－＝1 (a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________． 答案： 解析：由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a. 在△PF1F