专题1.1 二次函数的认识与待定系数法、配方法（知识讲解）-2020-2021学年九年级数学学业提升专题讲练（全国通用）

专题1.1  二次函数的认识与待定系数法、配方法（知识讲解）

【问题探索】

某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．

(1)假设果园增种棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?

(2)如果果园橙子的总产量为个，那么请你写出与之间的关系式．

答案：（1）共有棵橙子树，平均每棵树结个橙子；

（2）与之间的关系式为：化简得：。【新课引入】

提问：

1、在式子中，是的函数吗？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？

答案：根据函数的定义，可知是的函数，与以前学过的一次函数和反比例函数不同，猜想它是二次函数。

2、请写一个一次函数关系式和一个反比例函数关系式，通过比较三个函数关系式，猜想是什么函数，并说出该函数的式子特征。

一次函数（）	反比例函数（）
未知项的最高次数是	未知项的最高次数是	未知项最高次数是

（其中）

答案：比较结果见上表，由表格可猜想该函数是二次函数，该式子的特征是①含两个变量（自变量）、（因变量）；②式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是次。

总结：一般地，形如(是常数，)的函数叫做的二次函数.

注意：定义中只要求二次项系数不为零（必须存在二次项），一次项系数、常数项可以为零。因此，最简单的二次函数形式是

举例：和都是二次函数．我们以前学过的正方形面积与边长的关系，圆面积与半径的关系等，都是二次函数．

3、是二次函数吗？

答案：是，因为化简能变成（）的形式。

4、通过二次三项式的配方，改变函数的表示形式。

答案：

，它反过来也能变成（）的形式，因此，它还是二次函数。这个式子可以让我们之间看出的最大值或最小值。如：中，当时，有最大值。

5、一次函数、反比例函数都有图象，二次函数有图象吗？怎么画出它的图象呢？

答案：二次函数也有图象，画二次函数的图象应该①列表；②描点；③连线。

6、请画出（、）的图象，观察图象的形状是什么？观察图象与轴、轴的交点坐标，以及图象的最高点（顶点）坐标。

答案：图象是抛物线，与轴交点（-100,0）、（120,0），与轴的交点（0,60000），顶点（10,60500），同一个函数可以有三种表达形式，从解析式可以分别看出图象的哪些特征？

【总结归纳】

一、二次函数图象上点的横坐标、纵坐标分别与函数中的、对应

也就是说：

1、   二次函数图象上点的坐标满足二次函数的函数关系式，即代入解析式两边相等；

2、   满足二次函数解析式的每一组的实数对，也对应着一个点，这些点就组成了二次函数的图象，解析式与图象的一些特征点对应关系如下图所示。

二、二次函数的三种表达形式以及它们之间的转化关系

 

交点式

 

因式分解

一般式

 

配方法

顶点式               

 

三、待定系数法求函数关系式

1、已知图象上三个普通点的坐标，设一般式，解三元一次方程组可求解析式中的待定系数；

2、已知图象的顶点坐标和一个普通点的坐标，设顶点式，解二元一次方程组可求待定系数；

3、已知图象与轴的两个交点坐标和一个普通点的坐标，设交点式，解方程可求待定系数。

4、后面学过二次函数图象特征和性质之后还有待定系数法的其他解法。

四、配方法

其实就是二次三项式的配方，配方依据是“完全平方”公式——。

配方法在如下几个方面使用较多：

1、   用于求二次三项式的最值；

2、   用于解一元二次方程；

3、   用于二次函数解析式变形，变一般式为顶点式，方便找图象的顶点和函数的最值。

【精选例题】

（一）二次函数的概念

例1、（1）  函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m=        ．

（2）下列函数中是二次函数的有（      ）

①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

解析：

（1）中，只有二次项系数时，才是二次函数，，故答案为；

（2）①④中未知项的最高次数都是1次，不是2次，因此不是二次函数；②③通过化简成一般形式，发现它们符合且，所以答案为B。

小结：一个函数是不是二次函数，关键看两个方面，①最高次项为2次，化简后符合一般形式；②二次项系数不等于0.

变式训练：

1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a    时，是二次函数；当a  ，b    时，是一次函数；当a    ，b    ，c    时，是正比例函数．

2．当m    时，y=（m－2）x是二次函数．