专题06 半角模型-2021年中考数学解题方法归纳提升

专题06 半角模型 一、单选题 1．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　） A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】 利用旋转性质可得△ABF≌△ACD，根据全等三角形的性质一一判断即可． 【详解】 解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB， ∴△ABF≌△ACD， ∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确， ∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确 无法判断BE＝CD，故①错误， 故选：C． 【点睛】 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 二、解答题 2．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点M，N在边BC 上，且∠MAN=45°．若BM= 1，CN=3，求MN的长． 【分析】 过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM＝AE、对应角∠BAM＝∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN＝45°得到∠MAN＝∠EAN＝45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN＝EN；最后由勾股定理得到EN2＝EC2＋NC2即MN2＝BM2＋NC2． 【详解】 解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°． ∵CE⊥BC， ∴∠ACE＝∠B＝45°． 在△ABM和△ACE中， ∴△ABM≌△ACE（SAS）． ∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE． ∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠BAM＋∠CAN＝45°． 于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°． 在△MAN和△EAN中， ∴△MAN≌△EAN（SAS）． ∴MN＝EN． 在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2＋NC2． ∴MN2＝BM2＋NC2． ∵BM＝1，CN＝3， ∴MN2＝12＋32， ∴MN＝． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，掌握三角形的全等的判定定理是解题关键． 3．在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD=CD，点E，F分别在边AM和AN上． （1）如图1，若∠BED=∠CFD，请说明DE=DF； （2）如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． （1）说明见解析；（2）EF= FC+BE．理由见解析． 【分析】 （1）根据题目中的条件和∠BED=∠CFD，可以证明△BDE≌△CDF，从而可以得到DE=DF； （2）作辅助线，过点D作∠CDG=∠BDE，交AN于点G，从而可以得到△BDE≌△CDG，然后即可得到DE=DG，BE=CG，再根据题目中的条件可以得到△EDF≌△GDF，即可得到EF=GF，然后即可得到EF，BE，CF具有的数量关系． 【详解】 （1）∵ DB⊥AM，DC⊥AN， ∴ ∠DBE=∠DCF=90°． 在△BDE和△CDF中， ∵ ∴ △BDE≌△CDF（AAS）． ∴ DE=DF． （2）过点D作∠CDG=∠BDE，交AN于点G． 在△BDE和△CDG中， ∵ ∴ △BDE≌△CDG（ASA） ∴DE=DG，BE=CG． ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°， ∴ ∠BDE+∠CDF=60°． ∴ ∠FDG=∠CDG+∠CDF=60°． ∴ ∠EDF=∠GDF． 在△EDF和△GDF中， ∴ △EDF≌△GDF（SAS）． ∴ EF=FG． ∴ EF=FC+CG=FC+BE． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．如图，，，点、分别在边、上，，过点作，且点在的延长线上． （1）与全等吗？为什么？ （2）若，，求的长． （1）△GAB≌△FAD，理由见解析；（2）EF=5 【分析】 （1）由题意可得∠ABG=∠D=90°，进一步即可根据ASA证得△GAB≌△FAD； （2）由（1）的结论可得AG=AF，GB=DF，易得∠BAE+∠DAF=45°，进而可推出∠GAE=∠EAF，然后利用SAS即可证明△GAE≌△FAE，可得GE=EF，进一步即可求出结果． 【