专题05 等腰旋转模型-2021年中考数学解题方法归纳提升

专题05 等腰旋转模型 一、解答题 1．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． （1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°． ①求证：AD＝BE； ②求∠AEB的度数． （2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）①见解析；②80°；（2）AE＝2CF+BE，理由见解析． 【分析】 （1）①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD=BE； ②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数； （2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论． 【详解】 （1）①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°， ∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°， ∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵△ACB，△DCE都是等腰三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE． ②解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵点A、D、E在同一直线上，且∠CDE＝50°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°， ∴∠BEC＝130°， ∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，∠CED＝50°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝80°． （2）结论：AE＝2CF+BE． 理由：∵△ACB，△DCE都是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∵CF⊥DE， ∴∠CFD＝90°，DF＝EF＝CF， ∵AD＝BE， ∴AE＝AD+DE＝BE+2CF． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形全等的证明，正确理解等腰三角形的性质以及三角形全等的证明是本题的解题关键． 2．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A､D､E按逆时针方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE，连接CE． （1）如图1，若点D在BC边上（点D与B､C不重合）， ①求证：△ABD≌△ACE； ②求证： （2）如图2，若点D在CB的延长线上，若DB=5，BC=7，则△ADE的面积为____． （3）如图3，若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°，连结BE，若BE=10，BC=6，则AE的长为______． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3） 【分析】 （1）①根据∠BAC=∠DAE，推出∠BAD=∠CAE，再结合AB=AC，AD=AE，即可证明△ABD≌△ACE，②根据∠ABD=∠ACE，可得∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE，根据BD=CE，即可证明结论； （2）过点A作AF⊥DE于点F，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质，易得AF＝DE，利用全等三角形的判定定理可得△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质可得∠ADB＝∠AEC，DB＝EC，易得EC＝5，DC＝12，利用勾股定理可得DE的长，利用三角形的面积公式可得结论； （3）根据Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，求得CE＝＝8，进而得出CD＝8−6＝2，在Rt△DCE中，求得DE＝=，最后根据△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长． 【详解】 （1）①∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE， ②∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE，BD=CE， ∴∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠DCE=90°， ； （2）过点A作AF⊥DE于点F． ∵AD＝AE， ∴点F是DE的中点， ∵∠DAE＝90°， ∴AF＝DE， 同理可证△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC，DB＝EC， ∵DB＝5，BC＝7， ∴EC＝5，DC＝12， ∵∠DAE＝90°， ∴∠ADE＋∠AED＝90°， ∴∠ADC＋∠CDE＋∠AED＝90°， ∴∠AEC＋∠AED＋∠CDE＝90°， 即∠CED＋∠CDE＝90°， ∴∠ECD＝90°， ∴DE2＝CE2＋CD2＝25＋144＝169， ∵DE＞0， ∴DE＝13， ∴AF＝， ∴△ADE的面积为＝DE•AF＝×13×＝； （3）由（1）可知：△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∴∠