专题四 空间向量与立体几何（大题突破）-【创新教程】2018-2020三年高考真题理科数学分类特训

２．解:(１)由a１＝３,an＋１＝３an－４n,a２＝３a１－４＝５,a３＝ ３a２－４×２＝７,􀆺 猜想{an}的通项公式为an＝２n＋１． 证明如下:(数学归纳法)当n＝１,２,３时,显然成立; ① 假设n＝k时,即ak＝２k＋１成立;其中(k∈N∗ ), 由ak＋１＝３ak－４k＝３(２k＋１)－４k＝２(k＋１)＋１, ② 故假设成立,综上①②,所以an＝２n＋１(n∈N∗ )． (２)令bn＝２nan＝(２n＋１)２n,则 前n 项 和Sn＝b１＋b２ ＋􀆺＋bn＝３×２１＋５×２２＋􀆺＋(２n＋１)２n, ③ 由③两边同乘以２得:２Sn＝３×２２＋５×２３＋􀆺＋(２n －１)２n＋(２n＋１)２n＋１ ④ 由③－④得－Sn＝３×２＋２×２２＋２×２３＋􀆺＋２×２n －(２n＋１)２n＋１＝６＋２ ３(１－２n－２) １－２ － (２n＋１)２n＋１, 化简得Sn＝(２n－１)２n＋１＋２． ３．解:(１)由题设得４(an＋１＋bn＋１)＝２(an＋bn),即an＋１ ＋bn＋１＝ １ ２ (an＋bn)． 又因为a１＋b１＝１,所 以{an＋bn}是 首 项 为 １,公 比 为 １ ２ 的等比数列． 由题设得４(an＋１－bn＋１)＝４(an－bn)＋８,即an＋１－ bn＋１＝an－bn＋２． 又因为a１－b１＝１,所以{an－bn}是首项为１,公差为２ 的等差数列． (２)由(１)知,an＋bn＝ １ ２n－１ ,an－bn＝２n－１． 所以an＝ １ ２ [(an＋bn)＋(an－bn)]＝ １ ２n ＋n－１２ , bn＝ １ ２ [(an＋bn)－(an－bn)]＝ １ ２n －n＋１２． ４．解:(１)∵a１＝－７,s３＝３a１＋３d＝－１５,∴d＝２, ∴an＝－７＋(n－１)􀅰２＝２n－９．(n∈N∗ )． (２)由等差数列前n 项和公式得: Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d＝n ２－８n＝(n－４)２－１６, ∴当n＝４时,Sn 取得最小值－１６． ５．解:(１)∵a５＝４a３,∴q２＝４,∴q＝±２． 当q＝２时,an＝２n－１ 当q＝－２时,an＝(－２)n－１ ∴{an}的通项公式为an＝２n－１或an＝(－２)n－１． (２)当q＝２时,Sm＝ １－２m １－２ ＝６３ ,解得 m＝６． 当q＝－２时,Sm＝ １－(－２)m １＋２ ＝６３． 无解． ∴m＝６． 专题四　空间向量与立体几何 １．解:(１)不妨设☉O 半径为１,OA＝OB＝OC＝１ AE＝AD＝２,AB＝BC＝AC＝ ３, DO＝ DA２－OA２＝ ３,PO＝ ６６DO＝ ２ ２ , PA＝PB ＝PC＝ PO２＋AO２ ＝ ６２ ,在 △PAC 中, PA２＋PC２＝AC２,故 PA⊥PC,同 理 可 得 PA⊥PB, 又 PB∩PC＝P,故可得 PA⊥平面 PBC． (２)建立如图 所 示 坐 标 系 O－xyz,则 有B ３ ２ ,１ ２ ,０ æ è ç ö ø ÷ , C － ３２ ,１ ２ ,０ æ è ç ö ø ÷ ,P ０,０,２２ æ è ç ö ø ÷ ,E(０,１,０)． 故 BC → ＝ (－ ３,０,０),CE → ＝ ３ ２ ,１ ２ ,０ æ è ç ö ø ÷ ,CP → ＝ ３ ２ ,－１２ ,２ ２ æ è ç ö ø ÷ ． 设 平 面 PBC 的 法 向 量 为 n１ ＝ (x,y,z),由 CP →􀅰n１＝０ BC →􀅰n１＝０ { ,即 ３ ２x－ １ ２y＋ ２ ２z＝０ , － ３x＝０, ì î í ïï ïï 令y＝ ２,则x＝０,z＝１,得n１＝(０,２,１); 同理可 求 得 平 面 PCE 的 法 向 量 为n２＝(２,－ ６,－２ ３), 设二面角B－PC－E 的大小为θ, 故cosθ＝ n１􀅰n２ |n１|􀅰|n２| ＝２ ５５ ,故二面角B－PC－E 的余弦值为２ ５ ５ ． ２．解:(１)因为 M,N 分别为BC,B１C１ 的中点,所以 MN ∥CC１,又由已知得 AA１∥CC１,故 AA１∥MN． 因 为 △A１B１C１ 是 正 三 角 形,所 以 B１C１ ⊥A１N．又 B１C１ ⊥ MN,MN ∩ A１N ＝ N,故 B１C１ ⊥ 平 面 A１AMN．又B１C１⊂平面EB１C１F 所以平面 A１AMN⊥平面EB１C１F． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋