高中数学沪教版（上海）数学高一下册-5.1 任意角及其度量 教案

第五章 三角比 5.1 任意角及其度量（第二课时）——弧度制 【教学目标】 (1) 理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数； (2) 了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系； (3) 掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题； (4) 在理解弧度制定义的基础上，领会弧度制定义的合理性； (5) 通过学习，理解并认识角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的. 【教学重点与难点】 重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化． 难点：弧度制定义的理解． 【教学过程】 引入 我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度作为单位来度量角， 的角是如何定义的？ 我们规定把周角的 作为 度的角． 把用度作为单位来度量角的制度叫做角度制. 例：已知三角形中两个内角分别为 ， ，求它的另一个内角的大小. 在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角的单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位． 弧度制的概念 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧 的长等于半径 ，弧 所对的圆心角 就是 弧度的角，弧度制的单位符号是 ，读作弧度． 图1 的弧度数 的弧度数 提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 因为半圆的弧长 ，其圆心角的弧度数是 ，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是 ． 　　在 到 的角的弧度数 必然适合不等式 ，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长 ，则这个圆心角的弧度数是 ，由此我们给出弧度制的定义：一般地， 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角 的弧度数的绝对值 ，其中 是以角 作为圆心角时所对的弧长， 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制． 提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？ 即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？ （易证以角 为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由 的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角