1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积（备作业）-【上好课】2020-2021学年高一数学同步备课系列（人教A版必修2）

【上好数学课】2020-2021学年高一同步备课系列（人教A版必修2） 第1章 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积（备作业） 一．选择题 1．一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆锥的底面半径为2，高为4， 内接圆柱的底面半径为时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为 因此，内接圆柱的高； 圆柱的侧面积为： 令，当时； 所以当时，． 即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为． 故选D． 2．已知四面体ABCD的外接球的球心为，点在四面体ABCD内部，，．过点作平面截球得到圆面O'，若圆O'的面积的最大值为，且为等边三角形，则四面体ABCD的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设球的半径为，因为圆的面积的最大值为，所以，解得． 因为，为等边三角形，所以四面体为正三棱锥， 因为，，所以，设的中心为，则， 易知平面，所以， 由点在四面体内部，可得，所以． 在中，，，所以边上的高， 所以四面体的表面积为， 故选C． 3．已知某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】某圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形， 则：该圆锥的母线长为2， 所以：． 故选C． 4．如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，过点作平面，为垂足，点为的等边三角形的中心． ，． ． ． 设圆柱底面半径为，则， 圆柱的侧面积， 故选C． 5．若正三棱柱的各个顶点均在同一个半径为1的球面上，且正三棱柱的侧面均为正方形，则该三棱柱的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，作出如下所示的图形，其中为球心，也为正三棱柱的中心，为上底面三角形的重心， 设正三棱柱的侧棱长为，则其上下底面是边长为的等边三角形， 所以，， 在中，，即，解得． 所以该三棱柱的表面积． 故选B． 6．若某正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长是6，则它的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得，正四棱台的上底面的面积为；下底面的面积为；侧面为等腰梯形，其高为， 所以该正四棱台的表面积为． 故选A． 7．将表面积为的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示， 设此圆锥的底面半径为，高为，母线长为． 则，化为：． ，可得． 解得：，． ． 该圆锥的轴截面的面积． 故选B． 8．已知长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长度为，则该长方体的表面积为　　 A．32 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【解析】设长方体的长、宽、高分别为，，，则，所以①， 因为长方体一条对角线的长为，所以②， 由①②可得：， 所以该长方体的表面积为32． 故选A． 9．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意知：圆锥的高为2，圆锥的底面半径为1， 所以圆锥的底面周长为，圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面展开面的面积为． 故选C． 10．已知正四棱锥的高为，且，则正四棱锥的侧面积为　　 A． B．4 C． D． 【答案】D 【解析】设在底面上的射影为，则为底面正方形的中心， 取的中点，连接，则， ， ，， 正四棱锥的侧面积为， 故选D． 11．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵” ，，若，当“阳马” 体积最大时，则“堑堵的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 “堑堵” ，，， “阳马” 体积， ，，， ， 当且仅当时取等号， 当“阳马” 体积最大时，， 堑堵的表面积为： ． 故选B． 12．已知一个圆柱和圆锥等底等高，且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则此圆锥和圆柱的表面积之比为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆柱和圆锥的底面半径为， 圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，圆锥的高，圆锥的母线， 圆柱的高， 圆锥的表面积，圆柱的表面积， 圆锥和圆柱的表面积之比为：， 故选A． 13．正四棱柱的高为3cm，体对角线长为，则正四棱柱的侧面积为　　 A．10 B．24 C．36 D．40 【答案】B 【解析】正四棱柱的高为，对角线长