专题04分式方程的含参问题与应用-备战2021年中考数学经典题型讲练案【全国通用】

备战2021年中考数学经典题型讲练案（全国通用） 专题04分式方程的含参问题与应用 【方法指导】 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 2.解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 3.分式方程的增根问题： （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 4.分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【题型剖析】 【类型1】解分式方程 【例1】（2020•大庆）解方程：1． 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可． 【解析】方程的两边同乘x﹣1，得：2x﹣x+1＝4， 解这个方程，得：x＝3， 经检验，x＝3是原方程的解， ∴原方程的解是x＝3． 【变式1.1】（2020•通辽）解方程：． 【分析】方程两边都乘以最简公分母x（x﹣2）把分式方程化为整式方程，然后解整式方程，再进行检验． 【解析】方程两边都乘以x（x﹣2）得， 2x＝3x﹣6， 解得x＝6， 检验：当x＝6时，x（x﹣2）＝6×4＝24≠0， 所以x＝6是分式方程的解． 因此，原分式方程的解是x＝6． 【变式1.2】（2020•郴州）解方程：1． 【分析】方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解析】1， 方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得 x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1）， 解得x＝3， 检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0． 故x＝3是原方程的解． 【变式1.3】（2020•湘潭）解分式方程：2． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】 去分母得，3+2（x﹣1）＝x， 解得，x＝﹣1， 经检验，x＝﹣1是原方程的解． 所以，原方程的解为：x＝﹣1． 【类型2】分式方程的增根无解问题 【例2】（2020•遂宁）关于x的分式方程1有增根，则m的值（　　） A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可 【解析】去分母得：m+3＝x﹣2， 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程得：m+3＝0， 解得：m＝﹣3， 故选：D． 【变式2.1】（2020•潍坊）若关于x的分式方程1有增根，则m＝　　． 【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m的值． 【解析】去分母得：3x＝m+3+（x﹣2），整理得：2x＝m+1， ∵关于x的分式方程有增根，即x﹣2＝0， ∴x＝2， 把x＝2代入到2x＝m+1中得：2×2＝m+1， 解得：m＝3； 故答案为：3． 【变式2.2】（2019•烟台）若关于x的分式方程1有增根，则m的值为　　． 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣2）＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【解答】.解：方程两边都乘（x﹣2）， 得3x﹣x+2＝m+3 ∵原方程有增根， ∴最简公分母（x﹣2）＝0， 解得x＝2， 当x＝2时，m＝3． 故答案为3． 【类型3】分式方程的特殊解问题 【例3】（2020•黑龙江）已知关于x的分式方程4的解为正数，则k的取值范围是（　　） A．﹣8＜k＜0 B．k＞﹣8且k≠﹣2 C．k＞﹣8 且k≠2 D．k＜4且k≠﹣2 【分析】表示出分式方程的解，根据解为正数确定出k的范围即可． 【解析】分式方程4， 去分母得：x﹣4（x﹣2）＝﹣k， 去括号得：x﹣4x