专题03一次二次方程的解法与应用-备战2021年中考数学经典题型讲练案【全国通用】

备战2021年中考数学经典题型讲练案（全国通用） 专题03一次二次方程的解法与应用 【方法指导】 1. 一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 2.一元二次方程的解法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法 用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 4. x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时， 5. 列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【题型剖析】 【类型1】一元二次方程的解 【例1】（2020•黑龙江）已知2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1 【分析】把x＝2代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值． 【解析】根据题意，得 （2）2﹣4×（2）+m＝0， 解得m＝1； 故选：B． 【变式1.1】（2020•金昌）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．0 【分析】首先把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0解方程可得m1＝2，m2＝﹣1，再结合一元二次方程定义可得m的值． 【解析】把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得： m﹣2+4﹣m2＝0， ﹣m2+m+2＝0， 解得：m1＝2，m2＝﹣1， ∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程， ∴m﹣2≠0， ∴m≠2， ∴m＝﹣1， 故选：B． 【变式1.2】（2020•河南模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 【分析】将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，解之求得a的值，在根据一元二次方程的定义求解可得． 【解析】根据题意将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0， 解得：a＝1或a＝﹣1， ∵a﹣1≠0，即a≠1， ∴a＝﹣1， 故选：B． 【类型2】一元二次方程的解法选填题 【例2】（2020•临沂）一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　） A．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2 C．x1＝2+2，x2＝2﹣2 D．x1＝2，x2＝﹣2 【分析】方程利用配方法求出解即可． 【解析】一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0， 移项得：x2﹣4x＝8， 配方得：x2﹣4x+4＝12，即（x﹣2）2＝12， 开方得：x﹣2＝±2， 解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2． 故选：B． 【变式2.1】（2020•泰安）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【解析】∵x2﹣8x﹣5＝0， ∴x2﹣8x＝5， 则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21， ∴a＝﹣4，b＝21， 故选：A． 【变式2.2】（2020•聊城）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A．（x）2 B．（x）2 C．（x）2 D．（x）