专题16 函数的零点-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习

专题16 函数的零点 2021年江苏新高考考点分析 1．函数的零点问题是命题热点，经常考查函数零点存在的区间和零点个数的判断，难度不大． 2．函数零点性质的应用主要是利用函数的零点个数求参数的范围． 2021年江苏新高考考点梳理 函数零点的定义 (1) 一般地，对于函数，我们把方程的实数根称为函数的零点； (2) 明确三个等价关系(三者相互转化) 由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者能相互转化，在解决有关零点的问题以及已知零点的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化． 2.函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得。 （1）在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设连续） ① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若，那么在不一定有零点 ③ 若在有零点，则不一定必须异号[来源 :学&科X3．断函数零点个数的常见方法 （1）直接法：解方程，方程有几个解，函数就有几个零点； （2）零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； （3）图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴的交点个数即为函数的零点个数； 或将函数拆成两个常见函数和的差，从而 ，则函数的零点个数即为函数与函数的图象的交点个数； 4.函数零点问题中参数的范围 已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路： (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题． (3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 5.以函数零点为背景的解答题主要考察函数与方程思想，不仅要研究单调性，确定至多一解，而且要考虑零点存在定理，确定至少有一解，从两方面确保解的个数的充要性． 函数零点个数证明与讨论 函数零点问题的不等式的证明 名师讲坛考点突破 考点1函数零点个数问题 例1 (2017苏锡常镇调研）若函数f(x)＝则函数y＝|f(x)|－的零点个数为________． 【答案】 4　 【解析】设g(x)＝，则由g′(x)＝＝＝0，可得x＝，所以g(x)在(1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，当x→＋∞时，g(x)→0，故g(x)在(1，＋∞)上的最大值为g()＝＞.在同一平面直角坐标系中画出y＝|f(x)|与y＝的图像可得，交点有4个，即原函数零点有4个． 易错警示 答案中出现了3和5这两种错误结果，3的主要原因是弄错了(1，＋∞)上的单调性或者忘了处理绝对值，5的主要原因是没有发现图像趋近于x轴． 变式训练1. (2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为 【答案】：. 5　 【解析】：因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由y＝f(x)－log5| x|＝0，得f(x)＝log5| x|，分别画出y＝f(x)和y＝log5|x|的图像，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5. 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点． 变式2.函数在有 个零点． 【答案】2． (1)函数的零点可转换为方程的根,若方程能够直接解出,则零点也就得到； (2)连续函数在区间[a,b]上有f(a)·f(b)＜0时,函数在(a,b)内至少有一个零点,但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a,b)内零点的个数,还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断； (3)对于解析式较复杂的函数的零点,可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为f(x)＝g(x)的形式,通过考察两个函数图象的交点来求 考点2 函数零点问题中参数的范围 例2. 设函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数