专题01 中点相关的辅助线问题-2021年中考数学解题方法归纳提升

专题01 中点相关的辅助线问题 1．如图，在中，，是中线，是角平分线，点是上任意一点（不与，重合），连接、．给出以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（ ） A．3<AD<13 B．1.5<AD<6.5 C．2.5<AD<7.5 D．10<AD<16 3．在△ABC中，AC＝6，中线AD＝5，则边AB的取值范围是（　　） A．1＜AB＜11 B．4＜AB＜13 C．4＜AB＜16 D．11＜AB＜16 4．在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题 5．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边的中线长x的取值范围是_____． 6．如图，在矩形中，分别为边，的中点，与、分别交于点、．已知，，则的长为______________． 7．在中，是边上的中线，若，则长的取值范围是_________． 8．在平行四边形中，为边的中点，且交射线于点，若，则的长度为________ 评卷人 得分 三、解答题 9．已知：在中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点． （1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG； （2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），求证：． 10．已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H． （1）试说明：①AE=CF； ②CG=GD； （2）若AE=6，CH=10，求边AC的长． 11．请阅读下列材料： 问题：在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且∠AMD=90° （1）如图1，若AB与CD不平行，试判断AB+CD与AD之间的数量关系； 小雪同学的思路是：延长DM至E使DM=ME，连接AE，BE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小雪的思路，在图1中把图形补充完整，并直接写出上面问题AB+CD与AD之间的数量关系： （2）如图2，若在原条件的基础上，增加AM平分∠BAD，（1）中结论还成立吗？若不成立，写出AB+CD与AD之间的数量关系，并证明． 12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线． （1）如果，，求证：△ABC是直角三角形． （2）如果，，，，求BC的长． 13．如图，已知，点是的中点，且，求证：． 14．如图，已知AD是的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E．若BE=6，求点C到AD的距离． 15．△ ABC 中 D 是 BC 边上一点，连接 AD． （1）如图1，AD 是中线，则 AB+AC 2AD（填 >，< 或 =）； （2）如图2，AD 是角平分线，求证 AB- AC > BD- CD． 16．在ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF． （1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长； （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明． 17．如图1，已知正方形和等腰，，，是线段上一点，取中点，连接、． （1）探究与的数量与位置关系，并说明理由； （2）如图2，将图1中的等腰绕点顺时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的最小值． 18．如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF． (1)若AC=，AE=，求BE的长； (2)在（1）的条件下，如果∠D=45°，求△ABD的面积． (3)若∠BAC=∠DAF，求证：2AF=AD； 19．阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． 完成下面问题： （1）①思路一的辅助线的作法是：　 　； ②思路二的辅助线的作法是：　 　． （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方