专题九 直线与圆锥曲线的综合问题（专题测试）-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试（人教A版2019选择性必修第一册）（圆锥曲线篇）

专题九 直线与圆锥曲线的综合问题（专题训练） 一、解答题 1．顺次连接椭圆的四个顶点得到边长为的菱形，该菱形对角线长度之比为 （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为，定点，过点的直线与椭圆交于两点，，设直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）依题意，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线，的倾斜角互补，所以. 当直线的斜率存在时，设其方程为， 代入椭圆的方程，整理得， 设，则， ， ， 因为， ， 所以. 2．如下图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，． （Ⅰ）设线段的中点为； （ⅰ）求证：平行于轴； （ⅱ）已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程； （Ⅱ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）或；（Ⅱ）仅存在一点适合题意. 【解析】（Ⅰ）（ⅰ）证明：由题意设，，，，． 由得，则，所以，． 因此直线的方程为， 直线的方程为． 所以，①．② 由①、②得，因此，即，也即.所以平行于轴． （ⅱ）解：由（ⅰ）知，当时，将其代入①、②并整理得： ，，所以，是方程的两根， 因此，，又， 所以． 由弦长公式的． 又，所以或， 因此所求抛物线方程为或． （Ⅱ）解：设，由题意得， 则的中点坐标为， 设直线的方程为， 由点在直线上，并注意到点也在直线上， 代入得． 若在抛物线上，则， 因此或． 即或． （1）当时，则，此时，点适合题意． （2）当，对于，此时，， 又，，所以， 即，矛盾． 对于，因为，此时直线平行于轴， 又， 所以直线与直线不垂直，与题设矛盾， 所以时，不存在符合题意得点． 综上所述，仅存在一点适合题意． 3．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，短轴长为，，是上关于轴对称的两点，周长的最大值为8. （1）求的标准方程. （2）过上的动点作的切线，过原点作于点.问：是否存在直线，使得的面积为1？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析. 【解析】（1）设与轴的交点为， 由题意可知， 则， 当过右焦点时，的周长取最大值， 所以，且， 所以椭圆的方程为. （2）不存在直线，使得的面