专题九 直线与圆锥曲线的综合问题（知识串讲）-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试（人教A版2019选择性必修第一册）（圆锥曲线篇）

专题九 直线与圆锥曲线的综合问题 ★★★★典型例题★★★★ 解析几何研究的问题是几何问题，研究的手法是代数法(坐标法)．因此，求解解析几何问题最大的思维难点是转化，即几何条件代数化．如何在解析几何问题中实现代数式的转化，找到常见问题的求解途径，即解析几何问题中的条件转化是如何实现的，是突破解析几何问题难点的关键所在．为此，从以下几个途径，结合数学思想在解析几何中的切入为视角，分析解析几何的“双管齐下”，突破思维难点． 利用向量转化几何条件 [典例]　如图所示，已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，请说明理由． [解题观摩]　假设存在斜率为1的直线l，使l与圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点． 设直线l的方程为y＝x＋b， 点A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立 消去y并整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0， 所以x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝.① 因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB， 即x1x2＋y1y2＝0. 又y1＝x1＋b，y2＝x2＋b， 则x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0. 由①知，b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0， 即b2＋3b－4＝0，解得b＝－4或b＝1. 当b＝－4或b＝1时， 均有Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＝－4b2－24b＋36＞0， 即直线l与圆C有两个交点． 所以存在直线l，其方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0. 以AB为直径的圆过原点等价于OA⊥OB，而OA⊥OB又可以“直译”为x1x2＋y1y2＝0，可以看出，解此类解析几何问题的总体思路为“直译”，然后对个别难以“直译”的条件先进行“转化”，将“困难、难翻译”的条件通过平面几何知识“转化”为“简单、易翻译”的条件后再进行“直译”，最后联立“直译”的结果解决问题．　　　　 角平分线条件的转化 [典例]　已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，求证