4.5函数的应用（二）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修一同步讲义

4.5 函数的应用（二） SHAPE \* MERGEFORMAT 1、函数的零点 (1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数. 2、函数的零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 3、二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 4、给定精确度 ，用二分法求函数 零点 的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点 的初始区间 ，验证 （2）求区间 的中点c （3）计算： ，并进一步确定零点所在的区间： ①若 （此时 ），则c就是函数的零点； ②若 （此时 ），则令 ； ③若 （此时 ），则令 （4）判断是否达到精确度 ：若 ，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤 由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解 5、有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 题型一　零点存在定理 f(1,3) 例 1 　设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　) A．在区间 ，(1，e)内均有零点 B．在区间 ，(1，e)内均无零点 C．在区间 内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间 内无零点，在区间(1，e)内有零点 【解析】当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\v