4.5 函数的应用（二）第1课时 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5 第一课时 函数的应用（二） xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】函数的零点与方程的解 3 【题型2】函数零点存在定理 4 【题型3】函数零点(或方程解)的个数问题 7 【题型4】二分法的概念 8 【题型5】用二分法求函数零点的近似值 10 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、函数的零点与方程的解 1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： 二、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 三、二分法的概念 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 四、用二分法求函数零点的近似值 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤 (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断. xix   提升方法技能 思 维 进 阶 (1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标. (2)求零点可转化为求对应方程的解. (3)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝2x，y＝|x|＋1都没有零点. (4)定理要求函数图象在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0. (5)图象在闭区间[a，b]上连续的函数y＝f(x)，f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件. (6)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点. (7)二分法的求解原理是函数零点存在定理. (8)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】函数的零点与方程的解 （2025•台湾四模）函数f（x）＝log3（x﹣1）﹣2的零点为（　　）典例 A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0） 【答案】A 【分析】根据题意，由函数零点的定义，令f（x）＝0，解对数方程，求出x的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，令f（x）＝log3（x﹣1）﹣2＝0，即， 所以x﹣1＝32，因此x＝10， 所以函数f（x）＝log3（x﹣1）﹣2的零点为10． 故选：A． 方法点拨 探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点. (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 【变式1】（2025•湖南学业考试）函数f（x）＝2x+x﹣6的零点为（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 【变式2】（2025春•泉州期中）函数f（x）＝2x﹣1的零点是（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．0 D．1 【变式3】（2024秋•五华区期末）函数的零点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型2】函数零点存在定理 （2025秋•浙江月考）已知函数，则f（x）在区间（　　）上一定存在零点．典例 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照a＞0和a＜0两种情况讨论，结合题意可设，a≠0，进而结合零点存在性定理分析判断即可． 【解答】解：由， 当a＜0时，函数f（x）开口向下，且， 要使f（x）在上存在零点， 则，即， 而m的取值不确定，则f（x）在上不一定存在零点； 要使f（x）在上存在零点， 则，即， 而m的取值不确定，则f（x）在上不一定存在零点； 要使f（x）在上存在零点， 则或， 即或，则m∈R， 所以f（x）在上一定存在零点； 要使f（x）在上存在零点， 则或， 即或，而m的取值不确定， 所以f（x）在上不一定存在零点； 同理，当a＞0时，函数f（x）开口向上，且，则函数f（x）必然有两个零点， 可设，要使f（x）在上存在零点， 则，即， 而m的取值不确定，则f（x）在上不一定存在零点； 要使f（x）在上存在零点， 则，即， 而m的取值不确定，则f（x）在上不一定存在零点； 要使f（x）在上存在零点， 则或， 即或，则m∈R， 所以f（x）在上一定存在零点； 要使f（x）在上存在零点， 则或， 即或，而m的取值不确定， 所以f（x）在上不一定存在零点， 综上所述，函数f（x）在一定存在零点． 故选：C． 方法点拨 判断函数y＝f(x)在所给区间(a，b)上是否有零点的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上. (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点. (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 【变式1】（2024春•漯河期末）函数f（x）＝lnx+x2+a，则“a＜﹣1”是“函数f（x）在（1，e）上存在零点”的（　　） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2024秋•赤坎区期末）函数f（x）＝2x+x﹣4的一个零点所在区间为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（3，4） 【变式3】（2024秋•广东期末）函数f（x）＝log3x+2x﹣6的零点所在的区间为（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5） 【题型3】函数零点(或方程解)的个数问题 （2024秋•和田县期末）函数f（x）＝|lgx|﹣（）x的零点个数为（　　）典例 A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由f（x）＝|lgx|﹣（）x＝0得|lgx|＝（）x，分别作出函数y＝|lgx|与，y＝（）x的图象，利用数形结合求出函数f（x）的零点个数． 【解答】解：由f（x）＝|lgx|﹣（）x＝0得|lgx|＝（）x， 分别作出函数y＝|lgx|与，y＝（）x的图象如图： 由图象可知两个函数有2个交点，即函数f（x）＝|lgx|﹣（）x的零点个数为2个， 故选：D． 方法点拨 判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点. (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数. (3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点个数问题. 【变式1】（2025春•阜阳期末）函数f（x）＝10（x+1）ex+1的零点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（2025春•市中区月考）函数f（x）＝xex﹣ex﹣1的零点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（2025•安徽模拟）函数f（x）＝xex﹣x﹣1的零点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型4】二分法的概念 （2024秋•濮阳期末）下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（　　）典例 A． B．f（x）＝ex+e﹣x﹣2 C． D．f（x）＝x2+4x+5 【答案】ABD 【分析】根据二分法的定义结合零点存在性定理逐个分析判断即可． 【解答】解：f（x）在上连续且单调递增， 所以f（x）＞f（0）＝0，无零点，不能使用二分法，故A正确； 对于B，，当且仅当x＝0时取等号， 又零点左右函数值同号，不能使用二分法，故B正确； 对于C，因为y＝lgx和在（0，+∞）上连续且单调递增，所以f（x）在（0，+∞）上连续且单调递增， 因为，所以可以使用二分法，故C错误； 对于D，f（x）＝（x+2）2+1≥1，无零点，不能使用二分法，故D正确． 故选：ABD． 方法点拨 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断. (2)在该零点左右两侧的函数值异号. 【变式1】（2024秋•中原区月考）用二分法求方程log3x+x﹣5＝0的一个近似解时，已经将根锁定在区间（3，4）内，则下一步可断定该根所在的区间为（　　） A．（3，3.5） B．（3.5，4） C．（2.5，3） D．（4，4.5） 【变式2】（2023春•岳麓区期中）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（　　） A．f（x）＝5x+2 B．f（x）＝log5x C．f（x）＝x2+2x+1 D．f（x）＝3x﹣2 【变式3】（2024秋•马鞍山期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A．f（x）＝lnx﹣3 B．f（x）＝sinx﹣1 C． D．f（x）＝2x﹣3 【题型5】用二分法求函数零点的近似值 （2024秋•吉安期末）已知函数，用二分法求f（x）的零点近似值，零点所在大致区间为（　　）典例 A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 【答案】B 【分析】根据二分法的定义和计算方法求解即可． 【解答】解：由函数， 可得函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且函数f（x）单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为（0，1）． 故选：B． 方法点拨 (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点. (2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分. (3)若|a－b|<ε，则[a，b]中的任意值都是满足精确度ε的近似值. 【变式1】（2024秋•闵行区期末）小明同学在用二分法研究函数y＝f（x）在区间（0，1）的零点时，发现f（0）＞0，f（1）＜0，f（0.5）＜0，那么他下一步应计算（　　） A．f（0.75） B．f（0.625） C．f（0.25） D．f（0.125） 【变式2】（2025春•扬州期末）用二分法可将函数f（x）＝2sinπx﹣x在区间（0，1）中的零点精确到区间（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025春•汕头月考）用二分法求函数f（x）＝lnx+2x﹣6在区间（2，3）内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 第一课时 函数的应用（二） xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】函数的零点与方程的解 3 【题型2】函数零点存在定理 5 【题型3】函数零点(或方程解)的个数问题 9 【题型4】二分法的概念 12 【题型5】用二分法求函数零点的近似值 14 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、函数的零点与方程的解 1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： 二、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 三、二分法的概念 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 四、用二分法求函数零点的近似值 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤 (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断. xix   提升方法技能 思 维 进 阶 (1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标. (2)求零点可转化为求对应方程的解. (3)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝2x，y＝|x|＋1都没有零点. (4)定理要求函数图象在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0. (5)图象在闭区间[a，b]上连续的函数y＝f(x)，f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件. (6)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点. (7)二分法的求解原理是函数零点存在定理. (8)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】函数的零点与方程的解 （2025•台湾四模）函数f（x）＝log3（x﹣1）﹣2的零点为（　　）典例 A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0） 【答案】A 【分析】根据题意，由函数零点的定义，令f（x）＝0，解对数方程，求出x的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，令f（x）＝log3（x﹣1）﹣2＝0，即， 所以x﹣1＝32，因此x＝10， 所以函数f（x）＝log3（x﹣1）﹣2的零点为10． 故选：A． 方法点拨 探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点. (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 【变式1】（2025•湖南学业考试）函数f（x）＝2x+x﹣6的零点为（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 【答案】B 【分析】先研究函数f（x）的单调性，再判断零点的个数，最后分析f（x）＝0的解即可求出． 【解答】解：由函数y＝2x，y＝x﹣6在R上均单调递增，得f（x）＝2x+x﹣6在R上单调递增， 则f（x）最多只有一个零点，又因为f（2）＝0， 所以函数f（x）的零点为x＝2． 故选：B． 【变式2】（2025春•泉州期中）函数f（x）＝2x﹣1的零点是（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．0 D．1 【答案】C 【分析】由零点的定义求解即可． 【解答】解：令f（x）＝2x﹣1＝0， 得x＝0， 故函数f（x）＝2x﹣1的零点是0． 故选：C． 【变式3】（2024秋•五华区期末）函数的零点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】把函数的零点转化为方程的根，进一步转化为两函数图象交点的坐标求解． 【解答】解：由0，得， 函数y＝log2x与y都是（0，+∞）上的增函数， 且，， 且当x＞16时，函数y比y＝log2x增长的快， 则函数y与y＝log2x的图象只有两个交点，也就是函数的零点个数是2． 故选：C． 【题型2】函数零点存在定理 （2025秋•浙江月考）已知函数，则f（x）在区间（　　）上一定存在零点．典例 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照a＞0和a＜0两种情况讨论，结合题意可设，a≠0，进而结合零点存在性定理分析判断即可． 【解答】解：由， 当a＜0时，函数f（x）开口向下，且， 要使f（x）在上存在零点， 则，即， 而m的取值不确定，则f（x）在上不一定存在零点； 要使f（x）在上存在零点， 则，即， 而m的取值不确定，则f（x）在上不一定存在零点； 要使f（x）在上存在零点， 则或， 即或，则m∈R， 所以f（x）在上一定存在零点； 要使f（x）在上存在零点， 则或， 即或，而m的取值不确定， 所以f（x）在上不一定存在零点； 同理，当a＞0时，函数f（x）开口向上，且，则函数f（x）必然有两个零点， 可设，要使f（x）在上存在零点， 则，即， 而m的取值不确定，则f（x）在上不一定存在零点； 要使f（x）在上存在零点， 则，即， 而m的取值不确定，则f（x）在上不一定存在零点； 要使f（x）在上存在零点， 则或， 即或，则m∈R， 所以f（x）在上一定存在零点； 要使f（x）在上存在零点， 则或， 即或，而m的取值不确定， 所以f（x）在上不一定存在零点， 综上所述，函数f（x）在一定存在零点． 故选：C． 方法点拨 判断函数y＝f(x)在所给区间(a，b)上是否有零点的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上. (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点. (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. 【变式1】（2024春•漯河期末）函数f（x）＝lnx+x2+a，则“a＜﹣1”是“函数f（x）在（1，e）上存在零点”的（　　） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】判断出函数在（0，+∞）上单调递增，由函数f（x）在（1，e）上存在零点，可得﹣1﹣e2＜a＜﹣1，即可得答案． 【解答】解：因为f（x）＝lnx+x2+a，x＞0， y＝lnx、y＝x2在（0，+∞）上单调递增， 所以f（x）＝lnx+x2+a在（0，+∞）上单调递增， 当函数在（1，e）上存在零点时， 则有， 解得﹣1﹣e2＜a＜﹣1， 又因为（﹣1﹣e2，﹣1）⊆（﹣∞，﹣1）， 所以“a＜﹣1”是“函数f（x）在（1，e）上存在零点”的必要不充分条件． 故选：C． 【变式2】（2024秋•赤坎区期末）函数f（x）＝2x+x﹣4的一个零点所在区间为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（3，4） 【答案】C 【分析】由题易得f（1）•f（2）＜0，结合函数零点存在性定理可得到答案． 【解答】解：由题意知，f（0）＝20+0﹣4＝﹣3＜0，f（1）＝21+1﹣4＝﹣1＜0，f（2）＝22+2﹣4＝2＞0，f（3）＝23+3﹣4＝7＞0，f（4）＝24+4﹣4＝16＞0， 因为f（1）•f（2）＜0， 所以（1，2）是函数f（x）的零点所在的一个区间． 故选：C． 【变式3】（2024秋•广东期末）函数f（x）＝log3x+2x﹣6的零点所在的区间为（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5） 【答案】B 【分析】首先判断函数的单调性，然后分别计算出f（1），f（2），f（3），f（4），f（5）的值并判断符号，根据零点存在性定理即可得到结果． 【解答】解：函数f（x）＝log3x+2x﹣6在（0，+∞）上单调递增， 又f（1）＝log31+2﹣6＝﹣4＜0，f（2）＝log32+4﹣6＝log32﹣2＜0， f（3）＝log33+6﹣6＝1＞0，f（4）＝log34+8﹣6＝log34+2＞0， f（5）＝log35+10﹣6＝log35+4＞0，可得f（2）•f（3）＜0， 则函数f（x）＝log3x+2x﹣6的零点所在区间为（2，3）． 故选：B． 【题型3】函数零点(或方程解)的个数问题 （2024秋•和田县期末）函数f（x）＝|lgx|﹣（）x的零点个数为（　　）典例 A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由f（x）＝|lgx|﹣（）x＝0得|lgx|＝（）x，分别作出函数y＝|lgx|与，y＝（）x的图象，利用数形结合求出函数f（x）的零点个数． 【解答】解：由f（x）＝|lgx|﹣（）x＝0得|lgx|＝（）x， 分别作出函数y＝|lgx|与，y＝（）x的图象如图： 由图象可知两个函数有2个交点，即函数f（x）＝|lgx|﹣（）x的零点个数为2个， 故选：D． 方法点拨 判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点. (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数. (3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点个数问题. 【变式1】（2025春•阜阳期末）函数f（x）＝10（x+1）ex+1的零点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据导函数的正负得出函数的单调性结合零点存在定理得出零点个数． 【解答】解：函数f（x）＝10（x+1）ex+1，x∈R， 则f′（x）＝10ex+10（x+1）ex＝10（x+2）ex， 当x∈（﹣∞，﹣2），f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（﹣2，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增； 0， 当x趋于+∞时，f（x）趋于+∞； 且f（﹣3）0， 所以∃x0∈（﹣3，﹣2），f（x0）＝0；∃x1∈（﹣2，+∞），f（x1）＝0； 所以函数f（x）＝10（x+1）ex+1的零点个数为2． 故选：C． 【变式2】（2025春•市中区月考）函数f（x）＝xex﹣ex﹣1的零点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用导数求出函数的单调区间，再由零点存在性定理判定零点个数即可． 【解答】解：因为f（x）＝xex﹣ex﹣1，x∈R， 所以f'（x）＝ex（x+1）﹣ex＝xex， 当x＜0时，f'（x）＜0，当x＞0时，f'（x）＞0， 所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 所以当x＝0时，f（x）极小值＝f（0）＝﹣2， 又当x≤0时，f（x）＝xex﹣ex﹣1＜0，此时f（x）无零点； 而f（2）＝e2﹣1＞0，f（0）＝﹣2＜0， 且函数在（0，+∞）上单调递增， 故f（x）有一个零点． 故选：B． 【变式3】（2025•安徽模拟）函数f（x）＝xex﹣x﹣1的零点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】函数f（x）＝xex﹣x﹣1的零点个数⇔方程xex﹣x﹣1＝0的根的个数，⇔⇔函数y＝ex与函数y＝1的交点，画出函数y＝ex，y＝1的图象，结合图形即可得到答案． 【解答】解：函数f（x）＝xex﹣x﹣1的零点个数⇔方程xex﹣x﹣1＝0的根的个数， ⇔⇔函数y＝ex与函数y＝1的交点． 画出函数y＝ex，y＝1的图象，如图所示： 可得函数f（x）＝xex﹣x﹣1的零点个数为2． 故选：C． 【题型4】二分法的概念 （2024秋•濮阳期末）下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（　　）典例 A． B．f（x）＝ex+e﹣x﹣2 C． D．f（x）＝x2+4x+5 【答案】ABD 【分析】根据二分法的定义结合零点存在性定理逐个分析判断即可． 【解答】解：f（x）在上连续且单调递增， 所以f（x）＞f（0）＝0，无零点，不能使用二分法，故A正确； 对于B，，当且仅当x＝0时取等号， 又零点左右函数值同号，不能使用二分法，故B正确； 对于C，因为y＝lgx和在（0，+∞）上连续且单调递增，所以f（x）在（0，+∞）上连续且单调递增， 因为，所以可以使用二分法，故C错误； 对于D，f（x）＝（x+2）2+1≥1，无零点，不能使用二分法，故D正确． 故选：ABD． 方法点拨 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断. (2)在该零点左右两侧的函数值异号. 【变式1】（2024秋•中原区月考）用二分法求方程log3x+x﹣5＝0的一个近似解时，已经将根锁定在区间（3，4）内，则下一步可断定该根所在的区间为（　　） A．（3，3.5） B．（3.5，4） C．（2.5，3） D．（4，4.5） 【答案】B 【分析】根据零点存在定理结合二分法计算判断即可． 【解答】解：因为方程log3x+x﹣5＝0根锁定在区间（3，4）内， 而， 由于，所以3.5＜31.5，log33.5﹣1.5＜0，即log33.5+3.5﹣5＜0， 所以下一步可断定该根所在的区间为（3.5，4）． 故选：B． 【变式2】（2023春•岳麓区期中）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（　　） A．f（x）＝5x+2 B．f（x）＝log5x C．f（x）＝x2+2x+1 D．f（x）＝3x﹣2 【答案】ABD 【分析】利用二分法零点判断规则即可得到正确选项． 【解答】解：选项A：由f（﹣1）f（1）＝﹣3×7＜0，可得f（x）＝5x+2在（﹣1，1）上存在零点； 选项B：由，可得f（x）＝log5x在上存在零点； 选项C：f（x）＝x2+2x+1＝（x+1）2≥0，则其零点为﹣1， 但不存在实数a，b满足f（a）f（b）＜0，因而不能用二分法求此函数零点； 选项D：由f（0）f（1）＝﹣1×1＜0，可得f（x）＝3x﹣2在（0，1）上存在零点． 故选：ABD． 【变式3】（2024秋•马鞍山期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A．f（x）＝lnx﹣3 B．f（x）＝sinx﹣1 C． D．f（x）＝2x﹣3 【答案】B 【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解． 【解答】解：对于A，令f（x）＝lnx﹣3＝0得x＝e3，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，令f（x）＝sinx﹣1＝0得，但f（x）＝sinx﹣1≤0恒成立，即在每个零点左右两侧函数值同号故，不可用二分法求零点； 对于C，令0，得函数有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，令f（x）＝2x﹣3＝0，得函数有唯一零点x＝log23，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点． 故选：B． 【题型5】用二分法求函数零点的近似值 （2024秋•吉安期末）已知函数，用二分法求f（x）的零点近似值，零点所在大致区间为（　　）典例 A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 【答案】B 【分析】根据二分法的定义和计算方法求解即可． 【解答】解：由函数， 可得函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），且函数f（x）单调递增， 因为， ， ，， 结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为（0，1）． 故选：B． 方法点拨 (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点. (2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分. (3)若|a－b|<ε，则[a，b]中的任意值都是满足精确度ε的近似值. 【变式1】（2024秋•闵行区期末）小明同学在用二分法研究函数y＝f（x）在区间（0，1）的零点时，发现f（0）＞0，f（1）＜0，f（0.5）＜0，那么他下一步应计算（　　） A．f（0.75） B．f（0.625） C．f（0.25） D．f（0.125） 【答案】C 【分析】利用二分法求解即可． 【解答】解：由题意可知，函数在区间（0，1）上存在零点，且已知f（0）＞0，f（1）＜0，f（0.5）＜0， 由于f（0）＞0，f（0.5）＜0， 所以零点位于区间（0，0.5）内，为了进一步缩小区间， 下一步应计算区间（0，0.5）的中点，即f（0.25）． 故选：C． 【变式2】（2025春•扬州期末）用二分法可将函数f（x）＝2sinπx﹣x在区间（0，1）中的零点精确到区间（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由函数零点判定定理分析可得答案． 【解答】解：根据题意，f（x）＝2sinπx﹣x， f（0）＝2sin0﹣0＝0，，f（1）＝2sinπ﹣1＝﹣1＜0， f（x）在区间上存在零点， 因为， 所以函数f（x）在区间上存在零点． 故选：A． 【变式3】（2025春•汕头月考）用二分法求函数f（x）＝lnx+2x﹣6在区间（2，3）内的零点近似值，若要求精确度为0.1，则所需二分区间的次数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二分法的定义计算即可． 【解答】解：因为区间（2，3）的长度为1，经过二分法的一次操作， 区间长度变为原来的一半，所以经过n（n∈N+）次二分法的操作， 区间的长度为，由，解得n≥4． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $