第四章 专题突破（四）指数型函数、对数型函数的性质综合-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦指对数型复合函数性质及应用这一核心知识点，先梳理函数定义域、值域、单调性等基础性质，再剖析复合函数构成，通过换元法、“同增异减”原则转化问题，结合单调性判断、图象变换、大小比较及最值求解等题型构建学习支架。 资料以“问题情境—方法提炼—迁移应用”为主线，通过“同增异减”判断单调性、图象变换作图等实例，培养学生逻辑推理与直观想象的数学思维。迁移运用融入高考真题，分层练习覆盖基础与综合，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

解决与指、对有关的复合函数，要明确相关函数的定义域、值域、单调性等性质，其次要明确复合函数的构成，涉及相关问题时，一般要借助换元法、同增异减等判断分析，最终将问题归结为与内层函数相关的问题加以解决． 突破一　指(对)数型函数的单调性 函数y＝()3－2x－x2的单调递增区间是________． 解析：由题得函数的定义域为R. 设函数u＝－x2－2x＋3，y＝()u， 因为函数u＝－x2－2x＋3的单调递减区间为(－1，＋∞)，单调递增区间为(－∞，－1)，函数y＝(1,3)u是单调递减函数， 由复合函数的单调性得函数y＝()3－2x－x2的单调递增区间为(－1，＋∞)． 答案：(－1，＋∞) 【迁移运用】 1.(2025·福建期末)已知函数f(x)＝log3(x2－ax＋2a)在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________． 解析：∵函数f(x)＝log3(x2－ax＋2a)在(1，＋∞)上单调递增， ∴函数t(x)＝x2－ax＋2a在(1，＋∞)上单调递增，且t(x)>0， ∴ t(1)＝1＋a≥0，解得－1≤a≤2，即a∈[－1，2]. 答案：[－1，2] 突破二　指(对)数型函数图象的变换 利用函数y＝f(x)＝2x的图象，作出下列各函数的图象： (1)f(x－1)；(2)f(|x|)；(3)f(x)－1； (4)－f(x)；(5)|f(x)－1|. 解：利用指数函数y＝2x的图象及变换作图法可作出所要作的函数图象，如图所示． 类题通法 利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)关于x轴对称y＝－f(x)； ②y＝f(x)关于y轴对称y＝f(－x)； ③y＝f(x)关于原点对称y＝－f(－x)； ④y＝ax(a>0，且a≠1)关于y＝x对称y＝logax(a>0，且a≠1)． (3)翻折变换 ①y＝f(x)保留x轴上方图象,将x轴下方图象翻折上去y＝|f(x)|； ②y＝f(x)保留y轴右边图象，并作其,关于y轴对称的图象y＝f(|x|)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 2.已知lg a＋lg b＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　 ) 解析：选B.∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1则b＝1,a， 从而g(x)＝－logbx＝logax， ∴函数f(x)与函数g(x)的单调性是在定义域内同增同减． 结合选项可知选B. 突破三　指数、对数比较大小 1．利用指、对、幂函数的单调性 设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　 ) A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a 解析：选B.a＝,2＝>log3＝c，b＝＝>>log3＝c，c最小． 2．利用函数的图象 已知(a＝log3a，3b＝logb，1,3c＝logc，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．b<a<c 解析：选C.在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝(x，y＝log3x，y＝3x，y＝logx的图象，如图．由图可知b<c<a. 3．构造函数 已知2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　 ) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 解析：选B.因为2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b； 因为22b＋log2b<22b＋log22b＝22b＋log2b＋1， 所以2a＋log2a<22b＋log22b， 令f(x)＝2x＋log2x，由指对数函数的单调性可得f(x)在(0，＋∞)内单调递增，则f(a)<f(2b)，得a<2b. 突破四　指(对)数型函数的最值 (2025·四川乐山期末)已知函数f(x)＝4x－2·2x+1＋a，其中x∈[0，3]. (1)若f(x)的最小值为1，求a的值； (2)若存在x∈[0，3]，使f(x)≥33成立，求a的取值范围； (3)已知g(x)＝m·2x，在(1)的条件下，若f(x)≥g(x)恒成立，求m的取值范围． 解：(1)令t＝2x，则t∈[1，8]，令h(t)＝t2－4t＋a＝(t－2)2＋a－4， 当t＝2时，h(t)min＝a－4＝f(x)min＝1，解得a＝5. (2)存在x∈[0，3]，使f(x)≥33成立，等价于存在x∈[0，3]，f(x)max≥33， 由(1)可知h(t)＝(t－2)2＋a－4, t∈[1，8]， 当t＝8时，h(t)max＝a＋32≥33，解得a≥1. (3)由(1) 知，a＝5，则f(x)＝4x－2·2x+1＋5， 又g(x)＝m·2x，则f(x)≥g(x)恒成立，等价于4x－2·2x+1＋5≥m·2x恒成立， 又t＝2x，t∈[1，8]，则等价于t2－4t＋5≥m·t， 即m≤(t＋5,t－4)min＝2－4，当且仅当t＝时等号成立， 故m的取值范围为(－∞，2－4]. 类题通法 解决恒成立问题的基本思路 (1)转换成求函数最值：①m≥f(x)在x∈D上恒成立⇔m≥f(x)max，x∈D；②m≤f(x)在x∈D上恒成立⇔m≤f(x)min，x∈D. (2)转换成函数图象问题：①若f(x)>g(x)在x∈D上恒成立，则在区间D上，函数y＝f(x)的图象在函数y＝g(x)图象的上方；②若f(x)<g(x)在x∈D上恒成立，则在区间D上，函数y＝f(x)的图象在函数y＝g(x)图象的下方． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 3.(2025·海南期末)已知函数f(x)＝log4(x＋1)＋log4(3－x)． (1)求f(x)的单调区间及最大值； (2)设函数g(x)＝log4[(m＋2)x＋4]，若不等式f(x)≤g(x)在x∈(0，3)上恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由得－1<x<3，∴f(x)的定义域为(－1，3)， f(x)＝log4(x＋1)＋log4(3－x)＝log4(－x2＋2x＋3)＝log4[－(x－1)2＋4]， 令t(x)＝－(x－1)2＋4，则t(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减， 又y＝log4t在定义域内单调递增， 由复合函数单调性可知，f(x)的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(1，3)， 由单调性可知f(x)max＝f(1)＝log44＝1. (2)∵f(x)≤g(x)在(0，3)上恒成立，∴log4(－x2＋2x＋3)≤log4[(m＋2)x＋4]， 即－x2＋2x＋3≤(m＋2)x＋4，∴x2＋mx＋1≥0在(0，3)上恒成立， ∴m≥－x－1,x＝－(x＋1,x)， 令h(x)＝－(x＋1,x)，则h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减， ∴h(x)max＝h(1)＝－2，∴m≥－2，即实数m的取值范围为[－2，＋∞)． [课后分层练(三十九)]　指数型函数、对数型函数的性质综合 (单选题、填空题每题5分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．函数y＝的定义域是(　　 ) A.[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[0，＋∞) D．(－∞，0] 解析：选C.由≥0得≤1，解得x≥0，故函数的定义域是[0，＋∞)． 2．函数y＝2|1-x|的图象大致是(　　 ) 解析：选A.函数y＝2|1-x|＝2x-1，x>1， 21-x，x≤1， ∴当x>1时，y＝2x-1是增函数，当x≤1时，y＝21-x是减函数， 且x＝1时，y＝1，即图象过点(1，1)， ∴符合条件的图象是A. 3．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是(　　 ) A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0，2) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1，3) 解析：选C.当x0≥2时，∵f(x0)>1，∴log2(x0－1)>1，解得x0>3；当x0<2时，由f(x0)>1得－1>1，解得x0<－1. 综上，x0的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 4．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：选A.由题意，可知a＝log27>log24＝2，∵1<log38<log39＝2∴1<b<2，c＝0.30.2<0.30＝1，∴c<b<a. 5．已知函数f(x)＝ 对任意x1≠x2，<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　 ) A.(0，] B． C．(0，] D． 解析：选A.∵对任意x1≠x2，<0恒成立，∴f(x)在R上是减函数， ∵f(x)＝ ∴解得0<a≤1,3． 6．已知函数f(x)＝ 则f(f(－4))＋f(log216)＝________． 解析：f(f(－4))＝f(24)＝log416＝2， ∵log2<0，∴f(log2)＝＝6， ∴f(f(－4))＋f(log2)＝2＋6＝8. 答案：8 7．函数y＝log(x2－6x＋17)的值域是________． 解析：∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，且y＝logt在[8，＋∞)是减函数，故y≤log8＝－3，∴函数y＝log(x2－6x＋17)的值域是(－∞，－3]. 答案：(－∞，－3] 8．已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝(1,3)x+1＋2的图象？并画出相应图象． 解： y＝()x+1＋2＝3－(x+1)＋2. 作函数y＝3x关于y轴的对称图象，得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x+1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x+1)＋2＝()x+1＋2的图象，如图所示． 9．已知对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点(2，1)． (1)求f(x)的解析式； (2)已知f(x－1)>f(8－2x)，求x的取值范围． 解：(1)因为对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点(2，1)， 所以1＝loga2，所以a＝2，故f(x)＝log2x. (2)由于函数f(x)是定义域内的增函数，f(x－1)>f(8－2x)， 所以解得3<x<4， 故原不等式的解集是{x|3<x<4}． 10．(2025·天津南开期末)已知函数f(x)＝log(3－2x－x2)． (1)求该函数的定义域； (2)求该函数的单调区间及值域． 解：(1)由3－2x－x2>0得－3<x<1，∴f(x)的定义域为(－3，1)． (2)令μ＝－x2－2x＋3，∴μ＝－x2－2x＋3在(－3，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减， 又y＝logμ在(0，＋∞)上单调递减， ∴f(x)的单调递增区间为(－1，1)，单调递减区间为(－3，－1)， ∵μ≤－(－1)2－2×(－1)＋3＝4，∴logμ≥log4＝－2， ∴f(x)的值域为[－2，＋∞)． 【综合运用】 11．设a>0，b>0，则下列叙述正确的是(　　 ) A．若ln a－2b>ln b－2a，则a>b B．若ln a－2b>ln b－2a，则a<b C．若ln a－2a>ln b－2b，则a>b D．若ln a－2a>ln b－2b，则a<b 解析：选A.因为y＝ln x与y＝2x均为增函数， 故f(x)＝ln x＋2x在(0，＋∞)上为增函数， 故f(a)>f(b)⇔a>b>0， 即ln a＋2a>ln b＋2b⇔a>b>0， 即ln a－2b>ln b－2a⇔a>b>0. 12．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是___________________________________________________． 解析：① 当0<a<1时，作出函数y＝|ax－1|图象， 若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点， 则由图象可知0<2a<1，故0<a<． ②当a>1时，作出函数y＝|ax－1|图象， 若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点， 则由图象可知0<2a<1，此时无解． 综上，a的取值范围是0<a<． 答案：(0，) 13．已知函数f(x)＝()ax2－4x＋3. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝(－x2－4x＋3， 令g(x)＝－x2－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y＝()g(x)在R上单调递减， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝()h(x)， 由于f(x)有最大值3， 所以h(x)应有最小值－1， 因此＝－1，解得a＝1. (3)由指数函数的性质知，要使y＝()h(x)的值域为(0，＋∞)，应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R， 因此只能有a＝0. 因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R. 故a的取值范围是{0}． 【创新探索】 14．已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)． (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性； (2)若a＝2，求函数y＝f(2x)的值域． 解：(1)函数f(x)是奇函数．证明如下： 由>0，得x<－1或x>1，则定义域关于原点对称， 又f(－x)＝loga＝loga＝loga(-1＝－loga＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数． (2)当a＝2时，f(x)＝log2，y＝f(2x)＝log2＝log2(1＋． 因为f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以2x>1， 所以∈(0，＋∞)，1＋∈(1，＋∞)，所以log2(1＋∈(0，＋∞)， 所以函数y＝f(2x)的值域是(0，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $