云南师范大学附属中学2021届高考适应性月考卷（四）数学（理）试题（图片版）

$$ 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A C B C B C B C A D 【解析】 1． ， ， ，所以 ， 中含有两个元素，故选D． 2． ， ，故选A． 3．等比数列 ，且 ， ，所以公比为 ，故选A． 4． ，故选C． 5．由题可知 ，故选B． 6． ， ， ，故选C． 7．由于 取不到该直线上的点，所以目标函数既无最大值也无最小值，故选B． 8．正项数列 ， ，当 时， ， ，所以 ．当 时， ， ，所以 或者 ．当 时， 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 ， ；当 时， 与 是正项数列矛盾，所以舍去，故选C． 9．由三视图可得，该几何体为圆台，可求其母线长为 ，上下底面半径分别为 和 ，由圆台表面积公式可得 ，故选B． 10．设内切圆圆心为 ， ， ，由等面积法可得内切圆半径 ， ， ，故选C． 11．两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两部分，所以每加一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和四条其他的弦，共分为8个区域，所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多产生一个区域，故当点数多于4个时，最多可分得总的区域数为 ，此题 ，所以最多可分为31个区域，故选A． 12．令 解得 EMBED Equation.DSMT4 ， ，当且仅当 时取到最小值，故选D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 13 14 15 16 答案 【解析】 13． ， ， ，故 ，经验证当 时， 是 的一个极值点． 14． ，所以 ． 15．两个圆的面积和 ，由余弦定理可得 ， ，故 ． 16．设 ， ， ， ，折到的点为E，折痕与y轴的交点为F，F关于直线CE对称的点为G，G在抛物线 上，又在折痕上，可证折痕为该抛物线的切线，故折痕围成的区域一块为等腰直角三角形，一块为抛物线，正方形和x轴围成的曲边图形，故总面积 ． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（1）由余弦定理可得 ， 所以可得 ． 由于 ，所以 . …………………………………………………（6分） （2）已知 ，由正弦定理可得 ， 由正弦二倍角公式可得 ， ∵ ， ， ， ， 所以 或者 ， 当 时， ， ， ， ， ； 当 时， ， ， ， ． …………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分） 解：（1）设比赛在第4局结束的概率为P， ． ……………………………………………………（6分） （2）设比赛在第4局结束为事件A，甲获胜为事件B， 则 ． …………………………（12分） 19．（本小题满分12分） （1）证明：由于 ， ， ，所以 ， 所以 ， ， ， 所以 平面FEB． …………………………………………………（6分） （2）解：如图，过点E作 交BF于点G， ， ， ， 所以 平面BCDE． 分别以ED，EB，EG为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 设平面FED的法向量为 ， 解得 ． 设平面FBC的法向量为 ， 解得 ， 平面FDE与平面FBC所成的锐二面角为 ， 则 ． ……………………………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分） （1）解：当过F的直线斜率不存在时，此时弦长为2p； 当过F的直线斜率存在时，设直线方程为 ， 联立 可得 ， 弦长 ， 所以弦长最短 ，所以 ． ………………………………………………………………（5分） （2）证明：设 ， ， 设过A点且与抛物线相切的直线 ： ， 联立 可得 ， ，解得 ， 可得 ： ，同理可得 ： ， 联立得 ， ， ， 所以 ． ……………………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分） （1）解： ， ， ， 解得 ， ． ……………………………………………………………（4分） （2）证明：令 ， 当 ， ， 单调递增， ，得 ， 故只需证 ， 令 ， ． 由于 ，令 ，单调递增， ， ， 故存在 ，使得 ． 当 时， ， ， 单调递减； 当 时， ， ， 单调递增， ， ， ， 故 ． …………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 解：（1）由 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． …………………………………………………（5分） （2） 是