第17练 平面向量的基本定理及坐标表示-2021年高考数学（文）一轮复习小题必刷

第17练 平面向量的基本定理及坐标表示 刷基础 1．（2020·江西二模（文））如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF，若 =m，其中m，n∈R，则m+n的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】 在平行四边形中 因为E是AC中点， 所以 所以 , 因为 所以 所以 因为 所以 ，解得 所以 故选C 2．（2019·河北衡水·高三一模（文））在如图所示的 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题得， . 故选D. 3．如图，正方形 中， 是 的中点，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 以 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为 ， 由此， ，故 ， 解得 .故选B. 4．如图所示，平面内有三个向量 ，其中 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，且 ，若 ，则 　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，且 ； 对 两边平方得： ； 对 两边同乘 得： ，两边平方得： ； 得： ；根据图象知， ， ，代入 得， ； ． 故选C． 5．在四边形 中， ，设 .若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示， 过 作 ，又 ． ∴四边形 是平行四边形． ， 又 ． ， 又 ，则 ． 故选：B． 6．如图，在 中，线段 ， 交于点 ，设向量 , ， , ， ，则向量 可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：因为 ， ， 三点共线， 存在实数 ，使 ， 由已知 ， ，所以 ， 同理 ， 解得 . 所以 ． 故选:C． 7．如图，在 中， ， ， 为 上一点，且满足 ，若 的面积为 ，则 的最小值为( ) A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】 ，得到 ，所以 ，结合 的面积为 ，得到 ,得到 ，所以 ，故选D． 8．已知正六边形 中， 是 的中点，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 作出图形如下图所示，设直线 、 相交于点 ，则点 为这两条线段的中点， 由图形可知， ， 所以， ，① ，② ，③ 联立②③，得 ，解得 ， 代入①， 得 ， 故选C． 9．梯形 中 平行于 , ， 为腰 所在直线上任意一点，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 依据题意，建立如图所示平面直角坐标系 设 ， 由 ， 所以 则 所以 令 ，则 所以 当 时，有 故选：B 10．已知 中， ， ， ， 是 的平分线上一点，且 .若 内（不包含边界）的一点 满足 ，则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：设 ，则 ，且 ， 所以 ，即 ， 因为 ， 所以 ， 由等和线性质得 ，解得 . 故选:A. 刷能力 1．直角梯形 中， ， .若 为 边上的一个动点，且 ，则下列说法正确的是（ ） A．满足 的 点有且只有一个 B． 的最大值不存在 C． 的取值范围是 D．满足 的点 有无数个 【答案】C 【解析】 中， 与 重合 有最小值 ， 与 重合 有最大值 ， 对； 中， 与 重合时， 为 的中点时，满足 的 点有两个， 错； 中，连接 交 于 ， 与 重合时，满足 的点 有两个， 错； 中， 与 重合时 的最大值为 ， 错，故选C． 2．（2020·全国专题练习）在 中， ，O为三角形的外接圆的圆心，若 ，且 ，则 的面积的最大值为__________. 【答案】6 【详解】 如图，取 的中点 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 三点共线，因为 是三角形的外接圆的圆心，所以 .设 ，则 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等. 故答案为：6 3．（2019·辽宁大连·高考模拟（文）） ， 为单位圆（圆心为 ）上的点， 到弦 的距离为 ， 是劣弧 （包含端点）上一动点，若 ，则 的取值范围为___. 【答案】 . 【详解】 如图以圆心 为坐标原点建立直角坐标系，设 ， 两点在 轴上方且线段 与 轴垂直， ， 为单位圆（圆心为 ）上的点， 到弦 的距离为 ， 所以点 ，点 ， 故 ， ，即 ， ， 所以 ， 又 是劣弧 （包含端点）上一动点, 设点 坐标为 ， 故 ， 因为 ， 所以 ，解得： ， 故 的取值范围为 ． 4．（2019·浙江高考模拟）已知直线 与抛物线 交于 两点，点 ， ，且 ，则 __________． 【答案】-3. 【详解】 设 ， ，则 ， ， ，则有 ，代入方程 ，故有 ，同理 ，有，即可视 为方程 的两根，则 .