小题限时练1-2021高考理科数学【创新教程】大二轮高考总复习

g(x)＝ x＋２ ＋ x－２ ＝ －２x,x≤－２ ４,－２＜x＜２ ２x,x≥２{ , 当x≤－２时,x２－４x＋４≥－２x,解得x≤－２; 当－２＜x＜２时,x２－４x＋４≥４,解得－２＜x≤０; 当x≥２时,x２－４x＋４≥２x,解得x≥３＋ ５． 综上,不等式的解集为{x|x≤０或x≥３＋ ５}． (２)f(x)≤g(x)的解集包含 ２,４[ ] 等价于x２＋ax＋４≤ x＋２ ＋ x－２ 在 ２,４[ ] 上恒成立, 即x２＋ a－２( )x＋４≤０对于x∈ ２,４[ ] 上恒成立, 令h(x)＝x２＋ a－２( )x＋４, 要使h(x)≤０ 在 ２,４[ ] 恒 成 立,结 合 二 次 函 数 的 图 象 可知, 只要 h ２( ) ≤０ h ４( ) ≤０{ ∴a≤－３． ３．解析:(１)当a＝２时,f(x)＝ x－４ ＋ x－３ ． 当x≤３ 时,f(x)＝４－x＋３－x＝７－２x≥４,解 得 x ≤ ３２ ; 当３＜x＜４时,f(x)＝４－x＋x－３＝１≥４,无解; 当x≥４ 时,f(x)＝x－４＋x－３＝２x－７≥４,解 得 x ≥１１２ ; 综上所述:f(x)≥４的解集为 x|x≤ ３ ２ 或x≥１１２{ } ． (２)f(x)＝|x－a２|＋|x－２a＋１| ≥|(x－a２)－(x－２a＋１)| ＝|－a２＋２a－１|＝(a－１)２ (当且仅当２a－１≤x≤a２ 时取等号), ∴(a－１)２≥４,解得a≤－１或a≥３, ∴a 的取值范围为 －∞,－１( ] ∪ ３,＋∞[ ) ． ４．解析:(１)当 m＝５时,f(x)＞０⇔ x－２ ＋ ３x＋１ －５ ＞０, ⇔ x≤－ １ ３ , －x＋２－３x－１－５＞０,{ 或 － １３ ＜x＜２ , －x＋２＋３x＋１－５＞０,{ 或 x≥２, x－２＋３x＋１－５＞０,{ ⇔ x≤－ １ ３ , x＜－１,{ 或 － １３ ＜x＜２ , x＞１,{ 或 x≥２, x＞ ３２ ,{ ⇔x＜ －１ 或 １＜x＜２或x≥２ ⇔x＜－１或x＞１,所以 不 等 式 f(x)＞０的 解 集 为{x|x ＜－１或x＞１}; (２)由条件,有当x≠ １４ 时,不等式f(x)＋ １６ |４x－１|＞０ , 即 m＜|x－２|＋|３x＋１|＋ １６|４x－１| 恒成立, 令g(x)＝|x－２|＋|３x＋１|＋ １６ |４x－１| , 则 因 为 g (x)≥ (x－２)＋(３x＋１) ＋ １６ ４x－１ ＝ ４x－１ ＋ １６４x－１ ≥２ |４x－１|． １６ |４x－１|＝８ , 且g － ３ ４( ) ＝８,所以[g(x)]min＝８, 所以 m＜８,即实数 m 的取值范围为(－∞,８)． ５．解析:(１)f(x)＝ ４－２x,x≤１ ２,１＜x＜３ ２x－４,x≥３{ , 不 等 式 f (x ) ≤ ６, 即 x≤１ ４－２x≤６{ 或 x≥３ ２x－４≤６{ 或 １＜x＜３ ２≤６{ , 即有－１≤x≤１或３≤x≤５或１＜x＜３, 所以所求不等式的解集为 －１,５[ ] ． (２)f(x)＝ x＋３ ＋ x－１ ≥ x－３－x＋１ ＝２, M＝２, 因为a＞０,b＞０, 所以要证a＋２b≥４ab, 只需证(a＋２b)２≥１６a２b２, 即证a２＋４b２＋４ab≥１６a２b２, 因为a２＋４b２＝２, 所以只要证２＋４ab≥１６a２b２, 即证８(ab)２－２ab－１≤０, 即证(４ab＋１)(２ab－１)≤０,因为４ab＋１＞０, 所以只需证ab≤ １２ , 因为２＝a２＋４b２≥４ab, 所以ab≤ １２ 成立, 所以a＋２b≥４ab． ６．解析:(１)将a＋b＋c＝２平方,然后将基本不 等 式a２＋b２ ≥２ab,b２ ＋c２ ≥２bc,a２ ＋c２ ≥２ac 三 式 相 加,进 行 证 明; (２)由２－bc ＝ a＋c c ≥ ２ ac c ,２－c a ＝ b＋a a ≥ ２ ba a ,三 式 相 乘进行证明． 解:(１)将a＋b＋c＝２ 平 方 得a２ ＋b２ ＋c２ ＋２ab＋２ab＋ ２ac＝４, 由基 本 不 等 式 知 a２ ＋b２ ≥２ab,b２ ＋c２ ≥２bc,a２ ＋c２ ≥２ac, 三式相加得a２＋b２＋c２≥ab＋bc＋ac, 则４＝a２＋b２＋c２＋２ab＋２bc＋２ac≥３ab＋３bc＋３ac 所以ab＋bc＋ac≤ ４３ ,当 且 仅 当 a＝b＝c＝ ２３ 时 等 号 成立 (２)由２－ab ＝ b＋c b ≥ ２ bc b , 同理２－b c ＝ a＋c c ≥ ２ ac c ,２－c a ＝ b＋a a ≥ ２ ba a 则２－a b 􀅰２－b c 􀅰２－c a ≥ ２ bc b 􀅰２ ac c 􀅰２ ba