专题强化练2 平面向量、三角函数与解三角形-2021高考理科数学【创新教程】大二轮高考总复习

由题意知g(x)在 ０,π( ] 上不单调, 所以０＜ ２m ＜π ,即 m＞ ２π , 当x∈ ０,２m( ) 时,g′(x)＜０,x∈ ２ m ,π( ) 时,g′(x)＞０, 所以g(x)在 ０, ２ m( ) 上递减,在 ２ m ,π( ) 上递增, 所以g π( ) ＝ π－１( )m－２lnπ≥１,解得 m≥ ２lnπ＋１ π－１ , 因为１∈(０,π],所以g ２ m( ) ≤g １( ) ＝０成立, 下面证明存在t∈ ０,２m( ) ,使得g(t)≥１, 取t＝e－m ,先证明e－m ＜ ２m ,即证２em －m＞０, 令h m( ) ＝２em －m,则h′ m( ) ＝２em －１＞０在(０,＋∞) 时恒成立, 所以２em －m＞２－０＞０成立, 因为g e－m( ) ＝me－m ＋m＞m≥ ２lnπ＋１ π－１ ＞ ２＋１ π－１＞１ , 所以命题成立． 因为２lnπ＋１ π－１ ＞ ２lnπ π－１＞ ２ π－１＞ ２ π ,所以 m≥２lnπ＋１π－１ ． 故实数 m 的最小值为２lnπ＋１π－１ ． 专题二　第１讲 １．A　[先求向量BC → 的坐标,再 求 其 模．因 为BC → ＝AC → －AB → ＝ ２,－２( ) ,所以|BC → |＝ ４＋４＝２ ２,故选 A．] ２．D　[根据 题 意,由 向 量 的 坐 标 计 算 公 式 求 出b 的 坐 标, 结合向量平行的坐标表示方法可得若a∥b,则 ２m＋１＝ ０,解可得 m 的值,即可得答案．根据题意,向量a,b,满足 a＝(１,２),a＋b＝(１＋m,１),则b＝(a＋b)－a＝(m,－ １), 又由a∥b,则２m＋１＝０, 解可得 m＝－ １２ ;故选 D．] ３．B　[由题 意cos π３ ＝ a􀅰b |a||b|＝ ２x ２ x２＋１２ ＝ １２ ,所 以 x ＞０,且２x＝ x２＋１２,解得x＝２．故选 B．] ４．B　[由向量的数量积公式 得 出a 与b 的 夹 角 的 余 弦 值, 再由|a|cosθ得出a 在b 上 的 投 影．设a 与b 的 夹 角 为 θ,|a|＝ １＝１,|b|＝ １＋ ３( ) ２ ＝２, a􀅰b＝１×０＋ ３×１＝ ３∴cosθ＝ a 􀅰b |a||b|＝ ３ ２ 则a 在b 上的投影为|a|cosθ＝１× ３２ ＝ ３ ２ ,故选 B．] ５．D　[根 据 共 线 向 量 基 本 定 理,结 合 充 分 条 件 的 定 义 进 行 求解即可．a􀅰b＝|a||b|成立时,说明两个非零向量的 夹 角为零度,但 是 非 零 两 个 向 量 共 线 时,它 们 的 夹 角 可 以 为平角,故 A 错误; 两个非零向量也可以共线,故 B错误; 只有当a 不是零向量时才成立,故 C 错误; 当平面向量a,b共线时,存在 一 个λ,使 得b＝λa (a≠０) 成立,因此存在不全为零的实数λ１,λ２,λ１a＋λ２b＝０; 当存在不全为零的实数λ１,λ２,λ１a＋λ２b＝０成立时,若 实 数λ１,λ２ 不都为零时, 则有a＝－ λ２ λ１ b成立,显然a,b (b≠０)共 线,若 其 中 实 数 λ１,λ２ 有一个为零时,不妨设λ１＝０,则 有λ２b＝０⇒b＝０, 所以平面向量a,b共线,所以 D 正确．故选 D．] ６．C　[由矩形 ABCD 可得AC → ＝AB → ＋AD →,BD → ＝AD → －AB →, 进而求解即可 AC → ＝AB → ＋AD →,BD → ＝AD → －AB →,|AD|＝|BC|＝２,所 以 AC →􀅰BD → ＝(AB → ＋AD →)􀅰 (AD → －AB →)＝AD →２ －AB →２ ＝２２ －４２＝－１２,故选 C．] ７．A　[由２CE → ＋BE → ＝０ 知CE → ＝ １３CB →,BE → ＝ ２３BC →,所 以 AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋ ２３BC → ＝AB → ＋ ２３ (BD → ＋DC →)＝AB → ＋ ２３ － １ ２AB → －CD → ( ) ＝ ２３AB → － ２３CD → ．] ８．D　[将AO →、EC → 用AB →、AC → 表 示,再 代 入AB →􀅰AC → ＝９AO → 􀅰EC → 中 计 算 即 可．由OA → ＋OB → ＋OC → ＝０,知 O 为ΔABC 的重心,所以AO → ＝ ２３ × １ ２ (AB → ＋AC →)＝ １３ (AB → ＋AC →), 又AE → ＝２EB →, 所以EC → ＝AC → －AE → ＝AC → － ２３AB →,９AO →􀅰EC → ＝３(AB → ＋ AC →)􀅰(AC → － ２３AB →) ＝AB →􀅰AC → －２A