01 几何体的表面积、体积问题重点突破-《中学生数理化》高一使用2020年11月刊

■胡 彬 解决几何体的表面积、体积问题是每年 高考的必考热点,也是需要重点学习与 掌 握 的知识 体 系。这 类 题 型 大 多 以 三 视 图 为 铺 垫,通过三视图揭示几何体的结构特征,利用 这些结构特征再计算几何体的表面积、体积。 重点1:几何体的表面积、体积 例1 (1)体积为8的正方体的顶点都在 同一球面上,则该球的表面积为 。 (2)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内 有一个体积为V 的球,若 AB⊥BC,AB=6, BC=8,AA1=3,则V 的最大值是 。 解:(1)因 为 正 方 体 的 体 积 为8,所 以 正 方体的体对角线长为23,所以正方体的外 接球的半径为 3。易得球的表面积为12π。 (2)要使球的体积V 最大,只需球的半径 最大,这 时 球 与 直 三 棱 柱 的 若 干 个 面 相 切。 设球的半径为 R,由 AB=6,BC=8,可知底 面Rt△ABC 的斜边AC=10。若Rt△ABC 内接圆的半径为r,则r= 6+8-10 2 =2,即有 R≤r=2。因为球与直三棱柱的上下底面都 相切时,2R≤3,所以R≤ 3 2 。故 R 的最大值 为 3 2 ,此时球的体积为V= 4 3 πR3= 9π 2 。 规律总结:求几 何 体 表 面 积 问 题 的 思 路 是将立体几何问题转化为平面问题,即 空 间 图形平面化,这是解决立体几何问题的 主 要 出发点。求不规则几何体的 表 面 积 时,通 常 将所给几何体分割成基本 的 柱、锥、台 体,再 通过求和或作差求得几何体的表面积。求几 何体体积的几种特殊方法:分 割 法、补 体 法、 转化法等。 重点2:三视图与几何体的表面积、体积 例2 (1)一 个 由 半 球 和 四 棱 锥 组 成 的 几何体,其三视图如图1所示,则该几何体的 图1 体积为 。 (2)如 图2,某 几 何 体的三 视 图 是 三 个 半 径 相等的 圆 及 每 个 圆 中 两 条互 相 垂 直 的 半 径。若 该几何体的体 积 是 28π 3 , 则它的表面积是 。 图2 解:(1)由三视图知,该几 何体是一个组合体,上半部分 是一个半球,下半部分是一个 正四棱锥,且四棱锥底面正四 边形的对角线恰为球的直径。 由三视图可得,半球的直径为 2,正四棱锥的底面边长为1,高为1,所以该 几何体的体积为V= 1 3 ×1×1×1+ 1 2 × 4π 3 × 2 2 æ è ç ö ø ÷ 3 = 1 3 + 2π 6 。 (2)由三视图知,该几何体是一个球挖去 1 8 的剩余部分。设球的半径为 R,则 该 几 何 体的 体 积 V= 7 8 × 4 3 πR3= 28π 3 ,由 此 解 得 R=2,所 以 它 的 表 面 积 S= 7 8 ×4π×22+ 3 4 ×π×22=17π。 规律总结:由三视图还原几何体时,要遵 循以 下 三 步:看 视 图,明 关 系;分 部 分,想 整 体;综合起来,定整体。求以三视图为背景的 几何体的体积或面积,应先得到几何体 的 直 观图,然后根据条件求解。与 三 视 图 有 关 的 体积与面积问题,需要注意几何体还原 的 准 确性。 作者单位:山东省东营市利津县第一中学 (责任编辑 郭正华) 3 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2020年11月 $$