02 两道高考题的整形处理-《中学生数理化》高一使用2020年11月刊

■ 冯 克 永 尹 文 军 立体几何是高中数学的核心内容,是考 查空间想象能力的重要载体。同学们对试题 的研究必 须 经 历 整 形(识“图”、想“图”到 构 “图”)的过程,再加之数学逻辑思维能力才能 求解。下面从两 道2019年 全 国 高 考 题 的 求 解过程中,体会整形的价值。 图1 例1 如图1,直四棱 柱ABCD-A1B1C1D1 的 底 面是菱形,AA1=4,AB= 2,∠BAD=60°,E,M,N 分别是BC,BB1,A1D 的 中点。 (1)证明:MN∥平面 C1DE。 (2)求二面角 A-MA1-N 的正弦值。 解:(1)连接 A1M 并延长与 AB 的延长 线交于O 点,连 接 DO 交BC 于 点E'(画 法 略)。因为BM∥AA1 且 BM= 1 2 AA1,所以 B 为 AO 的 中 点,M 为 A1O 的 中 点。由 DC∥BO 且 DC=BO,可 得 E'为 BC 的 中 点,可知E'与E 重合。因为 N 为A1D 的中 点,所以 MN∥ED。又 MN⊄平 面 C1DE, DE⊂平面C1DE,所以 MN∥平面C1DE。 (2)过 D 点作DG⊥AB,G 为垂足,过 G 点作GF⊥A1M,F 为 垂 足,连 接 DF(画 法 略)。 因 为 AA1 ⊥DG,所 以 DG ⊥ 平 面 AA1M,可 得DG⊥A1M,所 以 A1M ⊥ 平 面 DGF,所以 DF⊥A1M,则∠DFG 为 所 求 二 面 角 的 平 面 角。因 为DG=2sin60°= 3, AA1=4=AO,GO=3,GF=3sin45°= 32 2 , 所以sin∠DFG= DG DF = 3 3+ 9 2 = 10 5 ,故 二面角A-MA1-N的正弦值为 10 5 。 评析:由 题 设 条 件 将 △A1MN 整 形 为 △A1DO 进行处 理,可 使 题 设 条 件 与 解 题 目 标关系更近,让人耳目一新,记忆深刻。 图2 例2 如 图 2,长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 的 底 面 ABCD 是正方形,点 E 在棱 AA1 上,BE⊥EC1。 (1)证 明:BE ⊥ 平 面 EB1C1。 (2)若 AE=A1E,求二 面角B-EC-C1 的正弦值。 解:(1)因 为 B1C1⊥平 面BEB1,所 以 BE⊥B1C1。又 BE⊥EC1, B1C1∩EC1=C1,所以BE⊥平面EB1C1。 (2)连 接 AC,A1C1,过 点 B 作 BG ⊥ AC,G 为 垂 足,则 G 为 AC 的 中 点,过 点 G 作GF⊥EC,F 为 垂 足,连 接 BF(画 法 略)。 因为AA1⊥BG,所以 BG⊥平面 CC1E,所以 BG⊥EC,所以 EC⊥平面 BGF,所以 GF⊥ EC,所以∠BFG 为 所 求 二 面 角 的 平 面 角 的 补角。设正方形 ABCD 的边长为2,则BG= 2。由(1)知BE⊥B1E,因为 AE=A1E,所 以 AA1 = 2AB = 4。 由 Rt△GFC ∽ Rt△EAC,可得 GF EA = GC EC ,即得 GF= 2 3 , 所以sin∠BFG= BG BF = 2 2+ 2 3 = 3 2 ,故 二 面角B-EC-C1的正弦值为 3 2 。 评析:由 题 设 条 件 将△C1EC 整 形 为 矩 形C1A1AC 进行处理,易得所求二面角的补 角,凸显由局部到整体的整形价值。 作者单位:安徽省霍邱县第一中学 (责任编辑 郭正华) 4 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2020年11月 $$