03 在平行关系中探究一题多变-《中学生数理化》高一使用2020年11月刊

■陈 林 平行关系是立体几何中点、线、面位置关 系的重点,是历年高考数学绕不开的一 个 问 题,所以 同 学 们 要 高 度 重 视 又 要 牢 固 掌 握。 下面的一题多变可以拓展同学们的思 维,又 可以从不同角度加深对平行关系问题解题思 路的认识。 图1 题 目 如 图 1 所 示,斜 三 棱 柱 ABC- A1B1C1 中,点 D,D1 分 别 为 AC,A1C1 的 中点。 (1)证 明:AD1 ∥ 平面BDC1。 (2)证明:BD∥平面 AB1D1。 思路分析:本题 的 两 问 都 是 证 明 线 面 平 行问题。证明线面平行有一种非常重要的转 化思想,就是把线面平行转化为线线平 行 来 证明。这两问都可以通过这 种 方 法 来 证 明, 当然,最直接的方法就是证明直线与平 面 内 的一条直线平行。 证明:(1)由 D1,D 分 别 为 A1C1 与 AC 的中点,四边形 ACC1A1 为平行四边形,可得 C1D1∥DA,且 C1D1 =DA,所 以 四 边 形 ADC1D1 为平行四边形,可得 AD1∥C1D。 又 AD1 ⊄ 平 面 BDC1,C1D ⊂ 平 面 BDC1,所以 AD1∥平面BDC1。 (2)由BB1∥平面 ACC1A1,BB1⊂平面 BB1D1D,平 面 ACC1A1∩平 面 BB1D1D= D1D,可得BB1∥D1D。 因为D1,D 分别为A1C1,AC 中点,所以 BB1=DD1,可知 四 边 形 BDD1B1 为 平 行 四 边形,所以BD∥B1D1。 又 BD ⊄ 平 面 AB1D1,B1D1 ⊂ 平 面 AB1D1,所以BD∥平面 AB1D1。 变式1:将上述题目的条件“D,D1 分别 为 AC,A1C1 上的中点”变为“D,D1 分别为 AC,A1C1 上的点”。试问:当 A1D1 D1C1 等于何值 时,BC1∥平面 AB1D1? 图2 提 示:如 图 2,取 D1 为 线 段 A1C1 的 中 点,此时A1D1 D1C1 =1。 连接 A1B 交 AB1 于点O,连接OD1。 由 棱 柱 的 性 质 知 四边形 A1ABB1 为 平 行 四 边 形,所 以 O 为 A1B 的中点。 在△A1BC1 中,点 O,D1 分 别 为 A1B, A1C1 的中点,所以OD1∥BC1。又OD1⊂平 面 AB1D1,BC1⊄平 面 AB1D1,所 以 BC1∥ 平面 AB1D1。 故当 A1D1 D1C1 =1时,BC1∥平面 AB1D1。 变式2:将上述题目条件“D,D1 分别为 AC,A1C1 上 的 中 点”变 为 “D,D1 分 别 为 AC,A1C1 上 的 点 且 平 面 BC1D ∥ 平 面 AB1D1”,试求 AD DC 的值。 图3 提 示:如 图 3 所 示,由 平 面 BC1D∥平 面 AB1D1,且 平 面 A1BC1 ∩ 平 面 BC1D =BC1,平面 A1BC1∩ 平 面 AB1D1 =D1O, 可得 BC1∥D1O,所以 A1D1 D1C1 = A1O OB 。 又 A1D1 D1C1 = DC AD ,A1O OB =1,所以 DC AD =1,即 AD DC =1。 作者单位:深圳大学附属中学 (责任编辑 郭正华) 5 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2020年11月 $$