04 剖析真题，谈空间平行、垂直关系的转化-《中学生数理化》高一使用2020年11月刊

■洪林平 立体几何是高中 数 学 的 重 要 内 容,学 习和掌握立体几何问 题的解法对于同学们 空间思维能力的培养 与逻辑运算能力的强 化有一定的帮助。从 形出发,立足于形,借 形分析,夯实基础,提 升能力,发展思维,促进同学们直观想象素养 的提高。 一、呈现真题,试题解析 图1 (2020 年 高 考 江 苏 卷)如 图 1 所 示,在三棱柱 ABC- A1B1C1 中,AB ⊥ AC,B1C ⊥ 平 面 ABC,E,F 分 别 是 AC,B1C 的中点。 (1)求证:EF∥平面 AB1C1。 (2)求证:平面 AB1C⊥平面 ABB1。 解读:本题有两问,第(1)问 证 明 线 面 平 行,第(2)问证明面面垂直。本题属于立体几 何中的常见问题,主要考查同学们识别 空 间 几何的结构特征、证明线面、面面平行与垂直 的相关知识。考虑到立体几何问题的求解过 程需要同学们提炼图形特征,推理几何条件, 开展问题的综合计算分析,因此对同学 们 的 空间想象、逻辑推理和数学运算能力要 求 较 高。求解该类问题需要合理 利 用 数 形 结 合、 化归与转化等思想来简化分析过程。 二、剖析真题,过程展示 思路分析:先 证 明 EF∥AB1,然 后 利 用 直线与平面平行的判定定理证明 EF∥平面 AB1C1;先 证 明 B1C⊥AB,结 合 AB⊥AC, 再证 明 AB ⊥ 平 面 AB1C,然 后 证 明 平 面 AB1C⊥平面 ABB1。 证明:(1)因为 E,F 分别是AC,B1C 的 中 点,所 以 EF ∥ AB1。 又 EF ⊄ 平 面 AB1C1,AB1⊂ 平 面 AB1C1,故 EF∥ 平 面 AB1C1。 (2)因 为 B1C⊥平 面 ABC,AB⊂ 平 面 ABC,所 以 B1C ⊥ AB。因为 AB⊥AC, AC∩B1C=C,AC⊂ 平面 AB1C,B1C⊂平 面 AB1C,所 以 AB⊥ 平面AB1C。 又因 为 AB⊂平 面 ABB1,所 以 平 面 AB1C⊥平面 ABB1。 三、解后反思,举一反三 本题的两问都属于立体几何的代表性问 题,考查直线与平面平行与垂直的判定 定 理 以及平面与平面垂直的判定定理的应用。本 题的求解思路:根据几何特征选取不同 的 解 题视角,从定理出发构建具体的模型,基于模 型来探寻解题条件,并最终完成证明。第(1) 问,借助 三 角 形 的 中 位 线 寻 找 线 线 平 行;第 (2)问,提取相关面中的线线垂直条件,基于 线面垂 直 的 判 定 定 理 来 完 成 线 面 垂 直 的 证 明,然后利用面面垂直的判定定理来构 建 面 面垂直。解答本题的难点在于如何证明题中 的线面垂直。 四、及时归纳,总结升华 立体几何是平 面 几 何 的 深 化 和 升 华,也 是知识与能力的综合,可以极大提升同 学 们 的图形素养。同学们在学习 中,要 重 视 几 何 知识,逐步建立空间几何感,提 高 识 图 能 力, 灵活运用立体图形与平面图形的关系,对 几 何体 进 行 分 析、解 剖、还 原,对 图 形 转 化、化 归,分门别类,关注图形特点,对 图 形 展 开 联 想、想象,形成知识规律,从本 质 上 掌 握 立 体 几何探究突破的策略。同学们对所做的题目 要及时总结归类,找出问题的本源,真正理解 这类问题的本质,以不变应万变。 本题涉及数形 结 合 和 转 化 与 化 归 思 想, 正是在这两种思想的融合下完成了问题的拆 解和对应的剖析,因此可以说数学思想 是 指 导解题的灵魂。同学们要掌握数学思想的解 题内涵与技巧,通过解题来发展数学思想,进 而拓展解题思维。 作者单位:甘肃省天水市秦州区教研室 (责任编辑 郭正华) 6 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2020年11月 $$