05 四种方法求空间几何体的体积-《中学生数理化》高一使用2020年11月刊

■廖庆伟 求空间几何体体积的常用方法有:公式 法、等积法、分割 法、补 体 法 等。下 面 举 例 分 析,供大家学习与参考。 一、公式法 图1 例1 如 图1,正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 的 棱 长 为1,线 段 B1D1 上 有两个动点 E、F,且 EF =1,则四面体A-EFB 的 体积等于 。 解:连 接 BD 交 AC 于 点 O,则 OA 为 四 面 体 A-EFB 的 高,且 OA= 2 2 。因为S△EFB= 1 2 ×1×1= 1 2 ,所以 VA-EFB= 1 3 × 1 2 × 2 2 = 2 12 。 评析:锥 体 (棱 锥 和 圆 锥)的 体 积 V= 1 3 Sh,其中S 是底面面积,h 是高。 二、等积法 图2 例2 如图2,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 棱 长为1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上 的 点,则 三 棱锥 D1-EDF 的 体 积 为 。 解:三 棱 锥 D1-EDF 的体积即为三棱锥F-DD1E 的体积。在正方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,△EDD1 的面积为 定值 1 2 ,F 到平面AA1D1D 的距离为定值1, 所以VD1-EDF=VF-DD1E= 1 3 × 1 2 ×1= 1 6 。 评析:三 棱 锥 D1-EDF 的 体 积 不 易 求 出,可利用等积法(转化底面和高),求出三棱 锥F-EDD1 的体积即得结果。 三、分割法 例3 如图3所示,在多面体 ABCDEF 图3 中,已 知 ABCD 是 边 长 为 1 的 正 方 形,且 △ADE,△BCF 均 为 正 三角形,EF∥AB,EF= 2,求 多 面 体 ABCDEF 的体积V。 解:取EF 的中点P,则原几何体可分割 为两个 三 棱 锥 和 一 个 四 棱 锥。易 知 三 棱 锥 P-AED 和三棱锥P-BCF都是棱长为1的正 四面体,四棱锥P-ABCD 是棱长为1的 正 四 棱锥,所以多面体ABCDEF 的体积V= 1 3 × 12× 2 2 +2× 1 3 × 3 4 × 6 3 = 2 3 。 评析:本题是把 原 几 何 体 分 割 成 两 个 三 棱锥和一个四棱锥求解的。把原几何体分割 成两个三棱锥和一个直三棱柱也可求 解,同 学们不妨试一试。 四、补体法 图4 例4 求图4中的阴影 部分 绕 AB 旋 转 一 周 所 形 成的 几 何 体 的 体 积(单 位: cm)。 解:由 题 意 可 知,所 求 几何 体 的 体 积 等 于 圆 台 的 体积减去半球的体积。 V圆台 = 1 3 ×(π×22+ π×22×π×52 + π×52)×4=52π,V半球 = 4 3 π×23× 1 2 = 16 3 π, 故 所 求 几 何 体 的 体 积 为 V圆台 -V半球 = 140 3 π(cm3)。 评析:解答本题 的 关 键 是 利 用 圆 台 的 体 积减去半球的体积得到所求几何体的体积。 作者单位:湖北省巴东县第三高级中学 (责任编辑 郭正华) 7 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2020年11月 $$