06 空间几何体中的热点问题聚焦-《中学生数理化》高一使用2020年11月刊

■何 炜 本文主要以2020年高考题为载体,探究 空间几何体中经典问题的类型以及求解的思 维方法,希望对同学们的学习有所帮助。 聚焦1:由三视图求几何体的表面积 图1 例1 (2020 年 高 考 全国卷)图1为 某 几 何 体 的三 视 图,则 该 几 何 体 的 表面积是( )。 A.6+42 B.4+42 C.6+23 D.4+23 根据 三 视 图 为 三 个 直 角 三 角形的特征,可知几何体为正方 体中从一个顶点出发的三条棱两两互相垂直 图2 的三棱锥 A-BCD(如图2)。 易 得 S△ABC =S△ADC = S△CDB = 1 2 ×2×2=2。由 勾股定理可得 AB=AD= DB=2 2,所 以△ADB 是 边长为22的等边三角形。 根 据 三 角 形 面 积 公 式 可 得 S△ADB = 1 2 AB×AD×sin60°=23。故该几何体的 表面积为3×2+23=6+23。应选C。 回味:三视图还原几何体中,如果三视图 中至少有两个视图为三角形,则该几何体为锥 体;如果三视图中出现两个或三个矩形或直角 三角形,就可考虑以正方体或长方体为载体进 行视图还原;如果三视图 中 出 现 两 个 或 三 个 圆,就可考虑以球为载体进行视图还原。 聚焦2:由三视图求几何体的体积 例2 (2019年高考北京卷)某几何体是 由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其 三 视 图3 图 如 图3所 示。如 果 网 格 纸 上小正方 形 的 边 长 为1,那 么 该几何体的体积为 。 该 三 视 图 对 应 的 几 何 体 为 正 方体去掉一个直四棱柱,可利 图4 用割 补 法 求 几 何 体 的 体 积。在 正 方 体 中 还 原 该 几何体,如图4所 示。由 图4易 得 该 几 何 体 的 体 积V=43- 1 2 ×(2+4)× 2×4=40。 回味:本题主要考查数学运算、直观想象 等核心素养,解题的关键是掌握三视图 还 原 几何体的方法。 聚焦3:由三视图求组合体的体积 例3 (2020年高考浙江卷)某几何体的 图5 三 视 图(单 位:cm)如 图 5 所示,则 该 几 何 体 的 体 积 (单位:cm3)是( )。 A. 7 3 B. 14 3 C.3 D.6 根据三视 图可还原几何 图6 体,如图6所示。 该 几 何 体 是 一 个 组 合 体,即为上 下 结 构。下 部 是 直三棱柱,底面是等腰 直 角 三角形,斜边长为2,高为1, 直三棱 柱 的 高 为2;上 部 是 三棱锥,平面 DA1C1⊥平面 A1B1C1,且 DA1=DC1,三棱锥的高是1。 故该几何体的体积V= 1 2 ×2×1×2+ 1 3 × 1 2 ×2×1×1= 7 3 。应选 A。 回味:本题考查三视图还原几何体,考查 空间几何体的体积问题。解题的关键是熟记 8 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2020年11月 图7 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 棱柱及锥体的体积公式。 聚焦4:与球有关的最值问题 例4 (2020年高考全国卷)已知圆锥的 底面半径为1,母 线 长 为3,则 该 圆 锥 内 半 径 最大的球的体积为 。 易知 半 径 最 大 的 球 为 圆 锥 的内切球。 球与圆锥内切时的轴 截面如图7所示,其中BC =2,AB=AC=3,且点 M 为BC 边上的中点。 设 内 切 圆 的 圆 心 为 O。由 于 AM = 32-12 =2 2,故 S△ABC = 1 2 × 2×22=22。设 内 切 圆 的 半 径 为 r,则 S△ABC=S△AOB +S△BOC +S△AOC = 1 2 ×AB× r+ 1 2 ×BC×r+ 1 2 ×AC×r= 1 2 ×(3+3+ 2)×r=22,解得r= 2 2 ,故最大的球的体积 V= 4 3 πr3= 2 3 π。 回味:本题考查圆锥的内切球问题,考查 直观想象、数 学 建 模 等 核 心 素 养。解 题 的 关 键是认真分析图形,明确切点和接点的位置, 确定有关元素间的数量关系,正确作出截面, 构造直角三角形解题。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 郭正华) ■向 莹 与几何体的外接球相关的问题是高考命 题的热点,也是同学们学习 的 难 点。下 面 归 纳几种常见的几何体的外接球问题,并 加 以 举例分析,供大家学习与提高。 一、正四棱柱的外接球 例1 已知底面边长为1,侧棱长为 2的 正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则 该 球的体积为( )