07 例说几何体的外接球问题-《中学生数理化》高一使用2020年11月刊

图7 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 棱柱及锥体的体积公式。 聚焦4:与球有关的最值问题 例4 (2020年高考全国卷)已知圆锥的 底面半径为1,母 线 长 为3,则 该 圆 锥 内 半 径 最大的球的体积为 。 易知 半 径 最 大 的 球 为 圆 锥 的内切球。 球与圆锥内切时的轴 截面如图7所示,其中BC =2,AB=AC=3,且点 M 为BC 边上的中点。 设 内 切 圆 的 圆 心 为 O。由 于 AM = 32-12 =2 2,故 S△ABC = 1 2 × 2×22=22。设 内 切 圆 的 半 径 为 r,则 S△ABC=S△AOB +S△BOC +S△AOC = 1 2 ×AB× r+ 1 2 ×BC×r+ 1 2 ×AC×r= 1 2 ×(3+3+ 2)×r=22,解得r= 2 2 ,故最大的球的体积 V= 4 3 πr3= 2 3 π。 回味:本题考查圆锥的内切球问题,考查 直观想象、数 学 建 模 等 核 心 素 养。解 题 的 关 键是认真分析图形,明确切点和接点的位置, 确定有关元素间的数量关系,正确作出截面, 构造直角三角形解题。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 郭正华) ■向 莹 与几何体的外接球相关的问题是高考命 题的热点,也是同学们学习 的 难 点。下 面 归 纳几种常见的几何体的外接球问题,并 加 以 举例分析,供大家学习与提高。 一、正四棱柱的外接球 例1 已知底面边长为1,侧棱长为 2的 正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则 该 球的体积为( )。 A. 32π 3 B.4π C.2π D. 4π 3 解:因为正四棱 柱 的 外 接 球 的 半 径 是 正 四棱 柱 体 对 角 线 的 一 半,所 以 半 径 r= 1 2 12+12+(2)2=1,所 以V球 = 4π 3 ×13= 4π 3 。应选D。 评析:解答这类 问 题 的 关 键 是 抓 住 外 接 的特点,即球心到多面体的顶点的距离 等 于 球的半径。 二、正六棱柱的外接球 例2 已知正六棱柱的12个顶点都在一 个球面上,当正六棱柱的底面边长为 6时,其 高为23,则球的体积为 。 解:设球的 半 径 R。由 正 六 棱 柱 的 性 质 知,球心是正六棱柱上、下底面中心连线的中 点,所以R= (6)2+ 23 2 æ è ç ö ø ÷ 2 =3。故外接 球的体积为 4 3 πR3=36π。 评析:正六棱柱的底面是正六边形,其外 接圆的半径等于边长。 三、正三棱锥的外接球 例3 已知正三棱锥 P-ABC,点 P,A, B,C 都 在 半 径 为 3的 球 面 上,若 PA,PB, PC 两两相互垂直,则球心到侧面 ABC 的距 离为 。 解:由 于 正 三 棱 锥 的 侧 棱 PA,PB,PC 两两互相垂直,故以 PA,PB,PC 为 棱 补 成 9 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2020年11月 图1 正方体,如图1所示。 由图 可 知,球 心 O 为 体对 角 线 PD 的 中 点,且 PO= 3,易得正方体的边 长为2。 设 点 P 到 侧 面 ABC 的距离为h,则 1 3 × 3 4 ×(22)2×h= 1 3 × 1 2 ×2×2×2,所 以h= 23 3 。故 球 心 到 侧 面 ABC 的距离为 3- 23 3 = 3 3 。 评析:解答本题的关键是通过补形,转化 为正方体求解。 四、正四面体的外接球 例4 正 四 面 体 的 棱 长 为4 6,顶 点 都 在同一球面上,则该球的体积为 。 解:正四面体的底面三角形的外接圆半径 r= 2 3 ×46×sin60°=42。正四面体的顶点 到底面的距离h= (46)2-(42)2=8。 设正 四 面 体 的 外 接 球 的 半 径 为 R,则 R2=r2+(h-R)2,即 R2=(4 2)2+(8- R)2,解得R=6,故所求球的体积为 4 3 πR3= 288π。 评析:正四面体的棱长a 与外接球的半 径R 的关系为R= 6 4 a。 五、三棱锥的外接球 图2 例5 如图2,已知三 棱锥 S-ABC 的 所 有 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上, △ABC 是 边 长 为 1 的 正 三角 形,SC 为 球 O 的 直 径,且SC=2,则此三棱锥 的体积为 。 解:易 得 △ABC 的 外 接 圆 的 半 径r= 3 3 ,点O 到平面 ABC 的距离d= R2-r2 = 6 3 。因为SC 为球O 的直径,所以点S 到平 面ABC