08 与球相关的切、接问题-《中学生数理化》高一使用2020年11月刊

■刘长柏 与球相关的切、接问题,考查同学们的空 间想象能力和逻辑思维能力,是同学们 学 习 的难点。解答“切”的问题,关键要先找 准 切 点,通过作截面来解决;解答“接”的问题,关 键是抓住外接的特点,即球心到多面体 的 顶 点的距离等于球的半径。下面对球与几何体 的切、接问题进行探究,力争 明 确 方 向,掌 握 解题规律。 一、构建三角形法 这种方法适合 正 棱 锥、正 棱 柱 的 外 接 球 问题,关键是确定球心的位置。 例1 已知△ABC 是面积为 93 4 的等边 三角形,其顶点都在球 O 的球面上。若球 O 的表面积为16π,则球心O 到平面ABC 的距 离为 。 解:由△ABC 是面积为 93 4 的等边三角 形,易 得 AB =BC =AC=3。 设 O1 为 △ABC 的内 心(图 略),则 AO1= 2 3 × 3 2 × 3= 3。设 外 接 球 的 半 径 为 R,则 4πR2= 16π,解得 R=2。在 Rt△AOO1 中,OO1 为 O 到 平 面 ABC 的 距 离,故 球 心 O 到 平 面 ABC 的距离为 4-3=1。 评析:本 题 考 查 球 的 内 接 体 问 题,求 出 △ABC 外接圆的半径是解题的关键。 二、补形法 补形法适合三条侧棱或三个侧面两两相 互垂直的三棱锥或四棱锥的外接球问题。 例2 在三棱锥 S-ABC 中,SA=BC= 41,SB=AC=5,SC=AB= 34,则三棱 锥S-ABC 外接球的表面积为 。 解:由题意可把三棱锥S-ABC 补形成长 图1 方体,如 图1所 示。设 长 方体 的 长,宽,高 分 别 为 a,b,c,则 a2 +b2 =41, b2+c2=25,a2+c2=34。 因 为 长 方 体 外 接 球 的半径R= a2+b2+c2 2 = 52 2 ,所以三棱锥 S-ABC 外接球的表面积S=4πR2=50π。 评析:当三棱锥的对应棱长相等时,可考 虑将三棱锥补形成一个长方体,这时问 题 可 转化为长方体来解决。 三、截面法 截面法适合在多面体的内切球问题中确 定球与多面体的位置关系,从球心出发 是 突 破问题关键。 例3 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 ABCD 是边长为6的 正 方 形,且 PA=PB=PC= PD,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面 都相切,则该四棱锥的高为 。 解:由 题 意 知,四 棱 锥 P-ABCD 是 正 四 棱锥,球心O 应在四棱锥的高PH 上。过正 图2 四棱 锥 的 高 作 轴 截 面,如 图 2,其 中 PE,PF 是 斜 高,M 为球 面 与 侧 面 的 一 个 切 点。 设 PH=h。易知 Rt△PMO ∽Rt△PHF,所 以 OM FH = PO PF ,即1 3 = h-1 h2+32 ,解 得 h= 9 4 (h=0 舍去)。故该四棱锥的高为9 4 。 评析:本题考查内切球问题,解题时,先 要找准切点,再通过作截面来解决。 作者单位:江苏省盐城市时杨中学 (责任编辑 郭正华) 11 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2020年11月 $$