09 聚焦立体几何中的体积问题-《中学生数理化》高一使用2020年11月刊

■邓建兵 立体几何中的体积计算是现实生活中经 常遇到的,需要多多观察生活中的几何体,仔 细审题,弄清几何体的形状,从而利用相关知 识求出该几何体的体积。 一、还原三视图求体积 图1 例1 某 几 何 体 的 三 视图 如 图1所 示,则 该 几 何体的体积为( )。 A.6 B.33 C.23 D.3 解:由三视图可知,该 几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,该 侧视图是底边长为2,高为 3的三角形,正视 图的长为三棱柱的高,即h=3,所以该几何体 的体积V= 1 2 ×2×3( ) ×3=33。应选B。 评析:同学们平 时 要 多 观 察 生 活 中 的 几 何体,提高自己的空间想象能力。正视图、侧 视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左 方和正上方观察几何体画出的轮廓线,画 三 视图的基 本 要 求 是:正 俯 一 样 长,俯 侧 一 样 宽,正侧一样高。 二、规则几何体求体积 例2 设 甲,乙 两 个 圆 柱 的 底 面 积 分 别 为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面 积相等,且S1 S2 = 9 4 ,则V1 V2 的值是 。 解:设甲,乙两个圆柱的底面半径和高分 别为r1,h1 和r2,h2。由 侧 面 积 相 等,可 得 2πr1h1=2πr2h2,即 h1 h2 = r2 r1 。因为S1 S2 = πr21 πr22 = 9 4 ,所 以r1 r2 = 3 2 ,则V1 V2 = πr21h1 πr22h2 = r21 r22 ·h1 h2 = r21 r22 ·r2 r1 = r1 r2 = 3 2 。 评析:柱体有圆柱和棱柱两种,其体积为 V柱体 =Sh,V圆柱 =πr2h。 三、折叠平面图形求体积 图2 例3 如 图2,在 边 长 为 4的 正 方 形 纸 片 ABCD 中, BD 与 AC 相 交 于 O,剪 去 △AOB,将 剩 余 部 分 沿 OC, OD 折 叠,使 OA,OB 重 合, 则体积VO-ACD 等于( )。 A. 82 3 B. 42 3 C. 83 3 D. 43 3 解:折 叠 后 为 四 面 体 AOCD,其 中 OA, OC,OD 两两相互垂直,且 OA=OC=OD= 2 2。所 以 体 积 VO-ACD = 1 3 S△OCD ×OA = 1 3 × 1 2 ×(22)3= 82 3 。应选 A。 评析:折叠后的几何体是一个四面体,底 面为直角三角形,且两直角边和高都等 于 正 方形的对角线的一半。 四、旋转后求体积 图3 例4 如图3,在四边 形 ABCD 中,∠DAB = 90°,∠ADC=135°,AB= 5,CD=22,AD=2,则 四边 形 ABCD 绕 AD 旋 转一 周 所 成 几 何 体 的 体 积为 。 解:由已知可得CE=2,DE=2,CB=5, 所以V=V圆台 -V圆锥 = 1 3 (π×22+π×52+ 22×52π2)×4- 1 3 π×22×2= 148π 3 。 评析:有关旋转体问题,其体积可转化为 规则的几何体的体积的和或差。 作者单位:江苏省阜宁县东沟中学 (责任编辑 郭正华) 21 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2020年11月 $$