13 立体几何中的易错题集锦-《中学生数理化》高一使用2020年11月刊

■吴爱国 在立体几何学习中, 同学们 由 于 空 间 想 象 能 力不足,对概念或定理的 理解不 清,容 易 出 现“这 样或那样的错误”。下面 就常见的几种易错题型, 进行举例分析。 1.对 柱、锥、台 体 的 概念理解不清导致错误 例 1 给 出 下 列 四 个命题:①侧面都是等腰 三角形 的 三 棱 锥 是 正 三 棱锥;②棱 长 都 相 等 的 直 四 棱 柱 是 正 方 体; ③侧面都是矩形的直四棱柱 是 长 方 体;④用 一个平面去截圆锥,底面与截面之间的 部 分 叫圆台。 其中不正确命题的序号是 。 图1 正解:①如图1,各侧面均是 等腰三角形,但该三棱锥不是正 三棱 锥,① 错 误。② 底 面 是 菱 形,底面边长和棱长相等的直四 棱 柱 不 是 正 方 体,② 不 正 确。 ③侧面都是矩形的直四棱柱,但 底 面 可 以 不 是矩形,③错误。④截面平行于底面时,底面 与截面之间的部分才叫圆 台,④错 误。答 案 为①②③④。 易错点:对棱(圆)柱,棱(圆)锥,棱(圆) 台的概念理解不清导致错误。 2.对球的结构把握不准导致错误 例2 把4个半径为R 的小球放在桌面 上,使下层3个,上层1个,两两相切,则上层 小球最高处离桌面的距离为 。 正解:把4个小球的球心连接起来,构成 一个棱长为2R 的 正 四 面 体,可 得 正 四 面 体 的高为 26 3 R,则上层小球最高处离桌面的距 离为 26 3 R+2R。 易错点:没有想 到 把4个 小 球 的 球 心 连 接起来,构成一个棱长为2R 的正四面体,或 者没有认真审题算出正四面体的高为 26 3 R 就以为是最后的结果。 3.对 平 行 与 垂 直 的 判定和性质定理不熟悉 导致错误 例3 已 知 两 个 平 面垂 直,现 有 下 列 命 题: ①一个 平 面 内 已 知 直 线 必垂直 于 另 一 个 平 面 内 的任意一条直线;②一个 平面内 的 已 知 直 线 必 垂 直于另 一 个 平 面 内 的 无 数条直线;③一个平面内 的任一条直线必垂直于另一个平面;④过 一 个平面内任意点作交线的垂线,则此垂 线 必 垂直于另一个平面。 其中正确命题的个数是( )。 A.3 B.2 C.1 D.0 正解:本题可从正方体 A1B1C1D1-ABCD 中寻找答 案(图 略)。面 A1ABB1 中 的 A1B 与面ABCD 中的AB 不垂直,①错误。显然 ②正确。面A1ABB1 中的A1B1 与面ABCD 不垂直,③错 误。过 面 A1ABB1 中 的 点 A1 可以作交线 AB 的垂线A1D1,这时 A1D1 不 与面 ABCD 垂直,④错误。应选C。 易错点:对于④,有些同学认为过平面内 一点作交线的垂线,垂线一定就在平面内,其 实,过空间一点作已知直线的垂线,有无数条, 只有在平面内的那一条才与另一平面垂直。 4.求空间角时,忽视角的范围导致错误 例4 已 知 二 面 角α-l-β 的 大 小 为60°, m,n 为异面直线,且 m⊥α,n⊥β,则 m,n 所 成的角为( )。 A.30° B.60° C.120° D.60°或120° 正解:易知 m,n 所成的角与二面角的大 小相等,故选B。 易错点:不理解异面直线所成角的范围, 易错选D。在 空 间 中,两 条 异 面 直 线 所 成 角 的范围是(0°,90°]。 作者单位:湖北省武汉市第十四中学 (责任编辑 郭正华) 22 数学部分·易错题归类剖析 高一使用 2020年11月 $$