14 2020年高考“空间位置关系热点问题聚焦-《中学生数理化》高一使用2020年11月刊

■何 敏 刘大鸣(特级教师) 2020年 高 考 对 立 体 几 何 的 考 查 始 终 围 绕“空间问题平面化、模型化和代数化”展开 的。下面以2020年 高 考 题 为 载 体,探 究“空 间位置关系”的热点问题求解的思维方法,希 望对同学们的学习有所启示。 聚焦1:空间位置关系的推理判断 例1 (2020年高考全国卷改编)现有下 列四个命题: p1:两两相交且不过同一点的 三 条 直 线 必在同一平面内。 p2:过空间中任意三点有且仅 有 一 个 平 面。 p3:若空间两条直线不相交,则这两条直 线平行。 p4:若直线l⊂平面α,直线 m⊥平面α, 则 m⊥l。 上述命题中所有的真命题是 。 借助空间位置关系,对每个 命题进行判断。对于命题p1,如 图1,设直线l1 与l2 相 交,这 两 条 直 线 确 定 平面为α,若l3 与l1 相交,则交点A 在平面α 图1 内,同 理 可 知l3 与 l2 的交点 B 也 在 平 面α 内,所 以 直 线 AB⊂α,即l3⊂α,p1 为 真 命 题。对 于 命 题p2,若三 点 共 线,则 过 这 三 个 点 的 平 面 有 无数个,p2 为假命题。对于命题 p3,空间中 两条直线 不 相 交,这 两 条 直 线 可 以 异 面,p3 为假命题。对于命题p4,若直线 m⊥平面α, 则m 垂直平面α 内的所有直线,因为直线l⊂ 平面α,所以直线 m⊥直线l,p4 为 真 命 题。 答案为p1,p4。 回味:空间中线线、线面、面面位置关系 的有机交汇,凸显“空间问题平面化”的本质 属性。判断一个命题为真命 题,要 给 出 推 理 证明;判 断 一 个 命 题 是 假 命 题,只 需 举 出 反 例。当一个命题直接判断不 易 进 行 时,可 转 化为判断其等价命题的真假。本题考查了空 间点、线、面位置关系的判断,考 查 复 合 命 题 真假的判断,考查直观想象、逻辑推理等核心 素养。解题的关键是正确理解空间点、线、面 的位置关系。 聚焦2:构造特殊的辅助面证明点在平 面内 图2 例2 (2020年高考 全国卷)如 图2所 示,在 长方体ABCD-A1B1C1D1 中,点 E,F 分 别 在 棱 DD1,BB1 上,且2DE= ED1,BF=2FB1。 证明:(1)当 AB= BC 时,EF⊥AC。 (2)点 C1 在 平 面 AEF 内。 (1)根 据 正 方 形 性 质 可 得 AC⊥BD,根据长方体性质可得 AC⊥BB1。由于 BB1∩BD=B,则 AC⊥平 面 BB1D1D。因 为 EF⊂平 面 BB1D1D,所 以EF⊥AC。 (2)易得EC1∥AF。在CC1 上取点 M, 使得CM=2MC1。 因 为 D1E=2ED,DD1∥CC1,DD1= CC1,所以 ED=MC1,ED∥MC1,所 以 四 边 形 DMC1E 为平 行 四 边 形,所 以DM∥EC1。 易得 MF ∥DA,MF =DA,所 以 四 边 形 MFAD 为平行四边形,所以 DM∥AF,所以 EC1∥AF,因此点C1 在平面 AEF 内。 回味:本题考查 了 线 线 垂 直 的 证 明 以 及 点与平面位置关系的证明,考查直观想象、逻 辑推理等核心素养。解题的关键是灵活掌握 线线垂直判定定理、线线平行判定定理。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 郭正华) 32 数学部分·创新题追根溯源 高一使用 2020年11月 $$