15 2020年高考空间几何体的计算热点剖析-《中学生数理化》高一使用2020年11月刊

■廉开波 胡 磊 立体几何主要研究现实世界中物体的形 状、大小与位置关系。下面就2020年的部分 髙考题(改编)为例,对空间几何体的计算热 点举例分析。 一、考查多面体边和斜高的关系 例1 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑 奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以 该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四 棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面 三 角 形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 。 图1 解:如 图 1 所 示,设 CD=a,PE=b,则 PO= PE2-OE2 = b2- a2 4 。 由题 意 可 得 PO2= 1 2 ab, 即b2- a2 4 = 1 2 ab,化简可 得4 b a( ) 2 -2· b a -1=0,解得 b a = 1+5 4 (负 值舍去)。 评析:本题主要 考 查 正 四 棱 锥 的 概 念 及 其有关计算。本题情景新颖,由 此 可 以 看 出 数学知识和生活的息息相关。 二、考查棱柱的体积计算 图2 例2 如图2,六角螺帽毛 坯是由一个正六棱柱挖去一个 圆柱所构成的。已知螺帽的底 面正六边 形 边 长 为2cm,高 为 2cm,内孔半径为0.5cm,则此 六角螺帽毛坯的体积是 cm3。 解:由 于 正 六 棱 柱 的 体 积 为 6× 3 4 × 22×2=123,圆柱的体积为π 1 2( ) 2 × 2= π 2 ,故所求几何体的体积为123- π 2 。 评析:本 题 主 要 考 查 正 六 棱 柱 体 积、圆柱体积的计算,考查同学们的基 本分析与求解能力。 三、考查几何体相交的轨迹长度 例3 已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的棱 长 均 为 2,∠BAD =60°。以 D1 为 球 心,5为半径的球面与侧面 BCC1B1 的交线 长为 。 图3 解:如图3所示,取 B1C1 的中 点 为 E,BB1 的中 点 为 F,CC1 的 中 点 为 G。 因 为 ∠BAD=60°,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的 棱 长 均 为 2,所 以 △D1B1C1 为等边三角形,所以|D1E|= 3, D1E⊥B1C1。 由题意可得 BB1⊥平面 A1B1C1D1,所以 BB1⊥B1C1。因 为 BB1 ∩B1C1 =B1,所 以 D1E⊥侧 面 B1C1CB。设 P 为 侧 面 B1C1CB 与球面的交线上的点,则 D1E⊥EP。因为球 的 半 径 为 5,|D1E|= 3,所 以|EP|= |D1P|2-|D1E|2 = 2,所 以 侧 面 B1C1CB 与球面的交线上的点到 E 的距离为 2。因为 |EF|=|EG|= 2,所以侧面B1C1CB 与球面 的交线是扇形EFG 的弧FG︵。因为∠B1EF= ∠C1EG= π 4 ,所以∠FEG= π 2 ,所以根据弧长 公式可得FG︵=π 2 ×2= 2 2 π。 评析:本题考查直棱柱的结构特征,考查 直线与平面垂直的判断,考查立体几何 中 的 轨迹问题。解答本题的关键是根据题意想象 出轨迹,再计算求解。 作者单位:山东省平邑县第一中学西校 (责任编辑 郭正华) 42 数学部分·创新题追根溯源 高一使用 2020年11月 $$