16 空间几何体常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一使用2020年11月刊

■顾伯宇 空间几何体是几何学的重要组成部分, 同学们在学习中,要从整体观察入手,理解和 掌握几何体的结构特征,要读懂三视图 和 直 观 图,了 解 简 单 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积 的 计算。 题型一:空间几何体的结构特征 (1)简单多面体的结构特征:①棱柱的侧 棱都平行且相等,上下底面是全等的多边形; ②棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个 公共点的三角形;③棱台可由平行于棱锥底 面的平面截棱锥得到,其上下底面是相 似 多 边形。(2)简单旋转体的结构特征:①圆柱可 以由矩形绕其任一边旋转得到;②圆锥可以 由直角三角形绕其直角边旋转得到;③圆台 可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下 底中点连线旋转得到,也可以由平行于 圆 锥 底面的平面截圆锥得到;④球可以由半圆面 或圆面绕直径旋转得到。友 情 提 醒:①棱 柱 的所有侧面都是平行四边形,但侧面都 是 平 行四边形的几何体却不一定是棱柱。②棱台 的所有侧面都是梯形,但侧面都是梯形 的 几 何体却不一定是棱台。③注意棱台的所有侧 棱相交于一点。④球是以半圆面为旋转对象 的,而不是半圆。⑤注意球面 上 两 点 的 直 线 距离、球面距离,以及在相应的小圆上的弧长 三者之间的区别与联系。 例1 下列说法中正确的是( )。 A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三 角 形 的 一 条 边 所 在 直 线 为 旋 转 轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的 几 何 体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相 等,则该棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的 连线都是母线 解:当一个几何 体 由 具 有 相 同 的 底 面 且 顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时,尽 管 各面都是三角形,但它不是三棱 锥,A 错 误。 若三角形不是直角三角形或是直角三角形但 旋转轴不是直角边所在的直线,所得几 何 体 就不是圆 锥,B错 误。若 六 棱 锥 的 所 有 棱 都 相等,则底面多边形是正六边形,由几何图形 知,若以正六边形为底面,则棱长必然要大于 底面边长,C错误。应选D。 跟踪练习1:给出下列几个命题: ①在圆柱的上、下 底 面 的 圆 周 上 各 取 一 点,则这两点的连线是圆柱的母线;②底面为 正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂 直 的 棱柱是正棱柱;③棱台的上、下底面可以不相 似,但侧棱长一定相等。 其中正确命题的个数是( )。 A.0 B.1 C.2 D.3 提示:只有这两 点 的 连 线 平 行 于 轴 时 才 是母线,①错误。②正确。棱台的上、下底面 相似且是对应边平行的多边形,各侧棱 延 长 线交于一点,但侧棱长不一 定 相 等,③错 误。 应选B。 题型二:三视图与直观图 (1)三视图的画法要求:长对正,高平齐, 宽相等。三视图的画法规则:正侧一样高,正 俯一样长,侧俯一样宽;看不 到 的 线 画 虚 线。 (2)直观图的画法:常用斜二测画法。直观图 的画法规则:原图形中x 轴、y 轴两两垂直, 直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°); 原图形中平行于坐标轴的线段,直观图 中 仍 平行于坐标轴,平行于x 轴的线段在直观图 中保持原长度不变,平行于y 轴的线段在直 观图中变为原来 的 一 半。(3)直 观 图 与 原 图 形的 面 积 关 系:S直观图 = 2 4 S原图形 ,S原图形 = 52 数学部分·经典题突破方法 高一使用 2020年11月 22S直观图 。 例2 某三棱锥的三视图如图1所示,则 该三棱锥最长的棱长为( )。 图1 A.5 B.22 C.3 D.32 解:由三视图可 知 该 几 何 体 的 直 观 图 为 三棱锥D-ABC,如图2所示。易得最长的棱 AD= 1+(22)2=3。应选C。 图2 跟踪练习 2:用 斜 二 测 画 法 画 出 的 某 平 面图形的直观图,如图3所示,其中边 AB 平 行于y 轴,BC,AD 平 行 于x 轴。已 知 四 边 形 ABCD 的面积为22cm2,则原平面图形 的面积为( )。 图3 A.4cm2 B.42cm2 C.8cm2 D.82cm2 提示:依题 意 可 知∠BAD=45°,则 原 平 面图 形 为 直 角 梯 形,上、下 底 边 的 长 与 BC, AD 相等,高 为 梯 形 ABCD 的 高 的2 2倍, 所以原平面图形的面积为8cm2。应选C。 题型三:空间几何体的表面积与体积 求空间 几 何 体 表 面 积 的 常 见 类 型 及 思 路:①求多面体的表面积,只需将它们沿着棱 “剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积 的方法求多面体的表面积。②求旋转体的表 面积,可以