17 点、直线、平面之间的位置关系常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一使用2020年11月刊

■张文伟 题型一:直线与平面的平行问题 证明直线与平面平行的关键是设法在平 面内找一条与已知直线平行的直线,解 题 的 思路是利用几何体的特征,结合中位线定理、 线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找 比例式进行证明。应用线面平行性质定理的 关键是确定交线的位置,有时需要经过 已 知 直线作辅助平面来确定交线。 图1 例1 如 图1所 示, 在空 间 几 何 体 ABCDFE 中,四 边 形 ADFE 是 梯 形,且 EF∥AD,P,Q 分 别为 棱 BE,DF 的 中 点。 求证:PQ∥平面ABCD。 证明:(方法1)如图1,取 AE 的中点G, 连接 PG,QG。 在△ABE 中,PB=PE,AG=GE,所以 PG∥BA。因为 PG⊄平面 ABCD,BA⊂平 面 ABCD,所以 PG∥平面 ABCD。 在梯形 ADFE 中,DQ=QF,AG=GE, 所以 GQ∥AD。因 为 GQ⊄ 平 面 ABCD, AD⊂平面 ABCD,所以 GQ∥平 面 ABCD。 因为 PG∩GQ=G,PG⊂平 面 PQG,GQ⊂ 平面 PQG,所以平面 PQG∥平面 ABCD。 又 PQ ⊂ 平 面 PQG,所 以 PQ ∥ 平 面 ABCD。 图2 (方 法 2)如 图 2,连接 EQ 并延长, 与 AD 的 延 长 线 交 于点 H,连接BH。 因 为 EF ∥ DH,所以∠EFQ=∠HDQ。又 FQ=QD, ∠EQF=∠DQH,所 以 △EFQ≌△HDQ, 可得 EQ=QH。在△BEH 中,由 于 BP= PE,EQ=QH,所以 PQ∥BH。 又 PQ ⊄ 平 面 ABCD,BH ⊂ 平 面 ABCD,所以 PQ∥平面 ABCD。 跟踪训练1:如图3所示,四边形 ABCD 图3 是平行四边形,点 P 是 平面ABCD 外一点,M 是 PC 的 中 点,在 DM 上 取 一 点 G,过 G 和 AP 作 平 面 交 平 面 BDM 于GH。 求证:AP∥GH。 提示:连 接 AC 交 BD 于点O,连接 MO。 因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 O 是AC 的中点。又 M 是PC 的中点,所以 AP∥MO。 因 为 MO ⊂ 平 面 BMD,AP ⊄ 平 面 BMD,所以 AP∥平面BMD。 又因为平面PAHG∩平面BMD=GH, 且 AP⊂平面 PAHG,所以 AP∥GH。 题型二:平面与平面的平行问题 判断面面平行的四种方法:①利用定义, 即证两个平面没有公共点(不常用)。②利用 面面平行的判定定理(主要方法)。③利用垂 直于 同 一 条 直 线 的 两 平 面 平 行(客 观 题 可 用)。④利用平面平行的传递性,即两个平面 同时平行于第三个平面,则这两个平面 平 行 (客观题可用)。 图4 例2 如 图4,ABCD 是 边 长 为 3 的 正 方 形, DE⊥平面ABCD,AF⊥平 面ABCD,DE=3AF=3。 证明:平 面 ABF∥平 面 DCE。 证明:(方 法1)应 用 面 面 平 行 的 判 定 定 理进行证明。因为 DE⊥平面 ABCD,AF⊥ 平面ABCD,所 以 DE∥AF。因 为 AF⊄平 面 DCE,DE⊂平 面 DCE,所 以 AF∥平 面 DCE。因 为 四 边 形 ABCD 是 正 方 形,所 以 AB∥CD。因为AB⊄平面 DCE,所以AB∥ 平面 DCE。因为 AB∩AF=A,AB⊂平 面 ABF,AF⊂平面 ABF,所以平面 ABF∥平 92 数学部分·经典题突破方法 高一使用 2020年11月 面 DCE。 (方法2)因为 DE⊥平面 ABCD,AF⊥ 平面ABCD,所 以 DE∥AF。因 为 四 边 形 ABCD 为 正 方 形,所 以AB∥CD。又 AF∩ AB=A,DE∩DC=D,所以平面 ABF∥平 面 DCE。 (方法3)利用垂直于同一条直线的两个 平 面 平 行 进 行 证 明。 因 为 DE ⊥ 平 面 ABCD,所 以 DE⊥AD。在 正 方 形 ABCD 中,AD⊥DC。又DE∩DC=D,所以 AD⊥ 平面 DEC。同理可得 AD⊥平面 ABF。故 平面 ABF∥平面 DCE。 图5 跟 踪 训 练 2:如 图 5,在 四 棱 锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD= 90°,∠BAC=∠CAD= 60°,PA⊥平 面 ABCD, PA=2,AB=1。设 M, N 分别为PD,AD 的中点。 (1)求证:平面CMN∥平面 PAB。 (2)求三棱锥 P-ABM 的体积。 提示:(1)因为 M,N 分别为PD,AD 的 中点,所 以 MN∥PA。又 因 为 MN⊄平 面 PAB,PA ⊂ 平 面 PAB,所 以 MN