专题一 函数与导数、不等式-2021高考理科数学【创新教程】大二轮高考总复习

即方程a＝ xx－lnx－ lnx x 有三个不同实数根． 设g(x)＝ x x－lnx－ lnx x (x＞０), 则g′(x)＝ １－lnx (x－lnx)２ －１－lnx x２ ＝ lnx(１－lnx)(２x－lnx) x２(x－lnx)２ 由y＝２x－lnx,得y′＝２－ １ x ＝ ２x－１ x , 当x∈ ０,１２( ) 时,y′＜０,∴y＝２x－lnx 在 ０, １ ２( ) 单 调 递减, 当 x ∈ １２ ,＋∞( ) 时,y′ ＞ ０,y ＝ ２x － ln x 在 １ ２ ,＋∞( ) 单调递增, 所以y＝２x－lnx≥２× １ ２ －ln １ ２ ＝１＋ln２＞０ 所以在x∈(０,＋∞)恒有y＝２x－lnx＞０ 令g′(x)＝０,得x＝１或x＝e． 当０＜x＜１时,g′(x)＜０,当１＜x＜e时,g′(x)＞０,当e ＜x 时,g′(x)＜０ 所以g(x)在(０,１)上 单 调 递 减,在(１,e)上 单 调 递 增,在 (e,＋∞)上单调递减． g(１)＝１,g(e)＝ e e－１－ １ e x→０时,lnxx →－∞ , x x－lnx＝ １ １－lnxx →０ x→＋∞时,lnxx →０ , x x－lnx＝ １ １－lnxx →１ 所以x→０时,g(x)→＋∞,x→＋∞时g(x)→１ 所以g(x)的大致图象如下: 方程a＝ xx－lnx－ lnx x 有三个不同实数根． 结合函数图象有a∈ １,ee－１－ １ e( ) ,故选 C．] 第二部分 专题一　第１讲 考点研　层层突破 考点一 例１　(１)A　[根 据 偶 次 根 式 被 开 方 数 非 负 可 得 出 关 于 x 的不等式,即可解得函数y＝f(x)的定义域．由题意可得 x２－５x＋６≥０,解得x≤２或x≥３．因此函数y＝f(x)的 定义域为 x|x≤２或x≥３{ } ．故选 A．] (２)C　[根据题意,x≥０时,得 到f(x)的 周 期 是 ３,利 用 函数的周期性得到f(２０２０)＝f(－２),再代入x＜０时的 解析式求解即可．根据 题 意,x≥０ 时,f(x)＝f(x－３), 所以f(x)的周期为３,所 以f(２０２０)＝f(３×６７４－２)＝ f(－２),x＜０ 时,f(x)＝ １ ２( ) x ＋１,所 以 f(－２)＝ １ ２( ) －２ ＋１＝５．故选 C．] 跟踪训练 １．A　 ２．解析:由解 析 式 可 求 得 函 数 定 义 域;根 据 函 数 单 调 性 确 定函数的值域;根据“同 域 函 数”的 定 义 写 出 一 个 符 合 题 意的函数即可．由 x－１≥０２－x≥０{ 得１≤x≤２,∴y＝ x－１－ ２－x的定义域为 １,２[ ] , 又y＝ x－１－ ２－x为 定 义 域 内 的 增 函 数,∴ 值 域 为 －１,１[ ] , ∴y＝ x－１－ ２－x的一个“同 域 函 数”为y＝２x －３, x∈ １,２[ ] ． 答案:y＝２x－３,x∈ １,２[ ] (答案不唯一) 考点二 例２　(１)C　[根 据 特 殊 位 置 的 x 所 对 应 的f(x)的 值,排 除错误选项,得到答案．因为f(x)＝xln|x|,所 以 当 ０＜ x＜１时,f(x)＜０,故 排 除 A、D 选 项;而 f －x( ) ＝ － xln|－x|＝－xln|x|,所 以 －f(x)＝f －x( ) ,即 f(x) 是奇函数,其图象关于原点对称,排除 B项,故选 C．] (２)C　[观察四个图象,找 出 图 象 间 的 区 别,根 据 判 断 奇 偶 性 和 零 点,即 可 排 除 得 出 答 案．因 为 f (x)＝ ２x－２－x( )sinx 所以f －x( ) ＝ ２－x－２x( )sin －x( ) ＝ ２x－２－x( )sinx 即f －x( ) ＝f(x),所以f(x)是偶函 数,排 除 A 和 D 选 项． 又f(０)＝０． 所以f(x)图象过原点,排除 B,故选 C．] 例３　(１)D　[与y＝ex 的 图 象 关 于y 轴 对 称 的 图 象 对 应 的函数为y＝e－x．依 题 意,f(x)的 图 象 向 右 平 移 １ 个 单 位长度,得y＝e－x 的图 象,∴f(x)的 图 象 是 由y＝e－x 的 图象向左平移１个单位长 度 得 到 的,∴f(x)＝e－ (x＋１)＝ e－x－１．] (２)B　[函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象 关于直线x＝a２ 对称,令a＝２可得 与 函 数y＝lnx 的 图 象关于直线x＝１对称的是函数y＝ln(２－x)的 图 象．故 选 B．] 跟踪训练 １．A　２．A　３．D　 考点三 例４　(１)D　[根 据 函 数 奇 偶 性,以 及 幂 函 数 单 调