专题五 解析几何-2021高考理科数学【创新教程】大二轮高考总复习

设平面 O１B１B 的法向量m＝(x,y,z), －y－２z＝０ １ ２x＋ ３ ２y＝０ { ,令x＝－３,解得y＝ ３,z＝－ ３２ ． 所以 m＝(－３,３,－ ３２ )． 因为 x 轴 垂 直 平 面 A１O１B,所 以 设 平 面 A１O１B 的 法 向 量n＝(１,０,０)． 所以cos‹m,n›＝ －３ ９＋３＋ ３４ ＝－２ ５１１７ , 因为 二 面 角 A１ －O１B－B１ 的 平 面 角 为 锐 角,所 以 其 余 弦值为２ ５１ １７ ． 跟踪训练 解析:(１)∵PA⊥平面 ABCD,BC⊂平面 ABCD ∴PA⊥BC ∵ABCD 为正方形,∴AB⊥BC 又 PA∩AB＝A,PA,AB⊂平面 PAB ∴BC⊥平面 PAB 又∵AE⊂平面 PAB,∴AE⊥BC ∵PA＝AB,E 为线段PB 的中点,∴AE⊥PB 又 PB∩BC＝B,PB,BC⊂平面 PBC ∴AE⊥平面 PBC (２)以 A 为坐 标 原 点,建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 A－xyz, 设正方形 ABCD 的 边 长 为 ２,则 A(０,０,０),B(２,０, ０),C(２,２,０),D(０,２,０), P(０,０,２),E(１,０,１) ∴AE → ＝(１,０,１),PC → ＝(２, ２,－２),PD → ＝(０,２,－２) 设 F(２,λ,０)(０≤λ≤２), 则AF → ＝(２,λ,０) 设平面 AEF 的一个法向量为n＝(x１,y１,z１) 则 n􀅰AE → ＝０, n􀅰AF → ＝０,{ 即 x１＋z１＝０, ２x１＋λy１＝０,{ 令y１＝２,则 x１＝－λ z１＝λ{ , ∴n＝(－λ,２,λ)　　 设平面 PCD 的一个法向量为m＝ x２,y２,z２( ) 则 m􀅰PC → ＝０, m􀅰PD → ＝０,{ ∴ x２＋y２－z２＝０, y２－z２＝０,{ 令y２＝１,则 x２＝０, z２＝１,{ ∴m＝ ０ ,１,１( ) , ∵平面 AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为３０°, ∴|cos３０°|＝|m 􀅰n| |m||n|＝ |２＋λ| ２× ２λ２＋４ ＝ ３２ , 解得λ＝１, ∴当点 F 为BC 中点时,平 面 AEF 与 平 面PCD 所 成 的 锐二面角为３０° 高考押题 解析:(１)取 A１C１ 的 中 点 P,连 结 AP,NP,证 得 MN∥ AP,利用线平行的 判 定 定 理,即 可 证 得 直 线 MN∥ 平 面 ACC１A１; (２)以CA,CD,CD１ 所 在 的 直 线 为 x,y,z 轴,建 立 如 图 所示的空 间 直 角 坐 标 系,分 别 求 得 平 面 A１MN 和 平 面 ACC１A１ 的一个 法 向 量,利 用 向 量 的 夹 角 公 式,即 可 求 解． (１)取 A１C１ 的 中 点 P,连 结 AP,NP,所 以 PN∥A１B１, 且 PN＝ １２A１B１ , 所以 PN∥AM,且 PN＝AM,所 以 四 边 形 PNMA 是 平 行四边形,所以 MN∥AP, 因 为 AP ⊂ 平 面 ACC１A１,所 以 直 线 MN ∥ 平 面 ACC１A１． (２)连结CM, 由已知可得,MB＝BC＝CM, 所以为等边三角形, 所 以 ∠ABC＝６０°,∠BAC＝ ３０°,所以∠ACB＝９０°, 即 BC⊥AC,所以 AC＝ ３, 分别以 CA,CD,CD１ 所 在 的 直 线 为 x,y,z 轴,建 立 如 图 所示的空间直角坐标系, 则 A ３,０,０( ) ,A１ ３２ ,１ ２ ,３ æ è ç ö ø ÷ ,C ０,０,０( ) ,B ０,１,０( ) , D１ ０,０,３( ) , C１ － ３２ ,１ ２ ,３ æ è ç ö ø ÷ , B１ － ３２ ,３ ２ ,３ æ è ç ö ø ÷ ,所以 M ３ ２ ,１ ２ ,０ æ è ç ö ø ÷ ,N － ３２ ,１,３ æ è ç ö ø ÷ , 可 得 MA１ → ＝ ０,０,３( ) ,MN → ＝ － ３,１２ ,３( ) ,CA → ＝ ３,０,０( ) ,CC１ → ＝ － ３２ ,１ ２ ,３ æ è ç ö ø ÷ ． 设 平 面 A１MN 的 法 向 量 为 m ＝ (x,y,z),所 以 MA１ →􀅰m＝０ MN →􀅰m＝０{ ,即 ３z＝０ － ３x＋ １２y＋ ３z＝０ { ,取 x＝ ３,解 得y＝６,z＝０,所以 m＝(３,６,０), 设 平 面 ACC１A１ 的 一 个 法 向 量 为 n＝ (x１,y１,z１ ), CA →􀅰n＝０ CC１ →􀅰n＝０{ ,即 ３x＝０ － ３２x＋ １ ２y＋ ３z＝０ { , 取z＝－ ３,可得