第二章 2.1.1 等式的性质与方程的解集（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）

§2.1　等　式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 学习目标　1.能用符号语言和量词表示等式的性质.2.了解恒等式，掌握常见的恒等式，会用“十字相乘法”分解二次三项式.3.能利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，求方程的解集． 知识点一　等式的性质 1．等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，那么a±c＝b±c；这里的a，b，c可以是具体的一个数，也可以是一个代数式． 2．等式两边同时乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，那么ac＝bc，＝(c≠0)． 知识点二　恒等式 1．恒等式的含义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 2．常见的代数恒等式 (1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2. (2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)． (3)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)， a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)． (4)(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab， (ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(ad＋bc)x＋bd. 3．十字相乘法 给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)． 为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． 知识点三　方程的解集 1．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 2．方程(x－x1)(x－x2)＝0，当x1≠x2时解集为{x1，x2}， 当x1＝x2时解集为{x1}． 1．化简x2－2x＋1＝________. 答案　(x－1)2 2．化简4x2－y2＝________. 答案　(2x＋y)(2x－y) 3．多项式4a－a3分解因式的结果是________． 答案　a(2－a)(2＋a) 4．方程x2＋2x－15＝0的解集为________． 答案　{3，－5} 解析　x2＋2x－15＝0， 即(x－3)(x＋5)＝0， 所以x＝3或x＝－5. 所以方程的解集为{3，－5}． 一、代数式的化简 例1　化简下列代数式： (1)(x＋1)2－(1－2x)2； (2)3ax2－12ay2. 解　(1)方法一　(x＋1)2－(1－2x)2＝x2＋2x＋1－(1－4x＋4x2)＝x2＋2x＋1－1＋4x－4x2＝－3x2＋6x. 方法二　(x＋1)2－(1－2x)2＝[(x＋1)＋(1－2x)][(x＋1)－(1－2x)]＝(2－x)·3x＝－3x2＋6x. (2)3ax2－12ay2＝3a(x2－4y2)＝3a(x＋2y)(x－2y)． 反思感悟　化简的一般步骤为“一提”“二套”“三检查” (1)先看是否能提取公因式． (2)再看能否套用公式． (3)再检查因式分解是否彻底． 跟踪训练1　化简下列代数式： (1)(3x＋1)2－(x＋1)2； (2)a3(a－b)－8(a－b)． 解　(1)方法一　(3x＋1)2－(x＋1)2＝9x2＋6x＋1－(x2＋2x＋1)＝9x2＋6x＋1－x2－2x－1＝8x2＋4x. 方法二　(3x＋1)2－(x＋1)2＝[(3x＋1)＋(x＋1)][(3x＋1)－(x＋1)]＝(4x＋2)·2x＝8x2＋4x. (2)a3(a－b)－8(a－b)＝(a－b)(a3－23)＝(a－b)(a－2)(a2＋2a＋4)． 二、“十字相乘法”分解因式 例2　化简下列各式： (1)x2＋6x－7； (2)2x2－7x＋6； (3)x2＋29xy＋100y2； (4)(a－b)2＋11(a－b)＋28. 解　(1)方法一　x2＋6x－7＝x2＋6x＋9－9－7 ＝(x＋3)2－16 ＝(x＋3＋4)(x＋3－4) ＝(x＋7)(x－1). 方法二　x2＋6x－7＝(x＋7)(x－1)． (2)首先把二次项系数2分成1×2，常数项6分成(－2)×(－3)，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数． 右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1×(－3)＋2×(－2)＝－7，正好是一次项系数，从而得2x2－7x＋6＝(x－2)(2x－3)． (3)x2＋29xy＋100y2＝x2＋29y·x＋4y·25y＝(x＋4y)(x＋25y)． (4)(a－b)2＋11(a－b)＋28 ＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7] ＝(a－b＋4)(a－b＋7)． 反思感悟　(1)对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2＋(a＋b)x