第二章 2.2.2 不等式的解集（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）

2.2.2　不等式的解集 学习目标　1.了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集.2.了解含绝对值不等式的几何意义，能借助于数轴解含有绝对值的不等式.3.掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式． 知识点一　不等式的解集与不等式组的解集 1．不等式的解集：不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集． 2．不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． 知识点二　绝对值不等式 1．定义：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 2．含绝对值不等式的解法 (1)|x|＝ (2)当m＞0时， |x|＞m的解集为(－∞，－m)∪(m，＋∞)， |x|≤m的解集为[－m，m]． 思考　若m<0，|x|≤m的解集是什么？ 答案　 ∅ 知识点三　数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式 1．两点之间的距离公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|. 2．中点坐标公式：如果线段AB的中点M对应的数为x，则x＝. 1．不等式2x－＞0的解集为________． 答案　 2．不等式组的解集为________． 答案　 3．若A，B两点在数轴上的坐标分别为A(2)，B(－4)，则AB＝________，线段AB的中点M的坐标为________． 答案　6　(－1) 4．不等式|1－2x|＜1的解集是________． 答案　(0,1) 解析　∵|1－2x|＜1， ∴－1＜1－2x＜1， ∴－2＜－2x＜0， 解得0＜x＜1， 故不等式的解集是(0,1)． 一、一元一次不等式(组)的解法 例1　解下列不等式组： (1) (2) 解　(1)不等式组 将①式移项、合并同类项，得x＞2. 将②式移项、合并同类项，得3x＞9. 系数化为1，得x>3. 所以不等式组的解集为(3，＋∞)． (2)不等式组 ①式两端同时乘以2，得2x＋2≥－7－x， 移项、合并同类项，得3x≥－9， 系数化为1，得 x≥－3， 同理，解不等式②得 x≥2， 所以不等式组的解集是[2，＋∞)． 反思感悟　不等式组的解集的求解步骤 (1)求出不等式组中每个不等式的解集． (2)借助数轴求出各解集的公共部分(交集)． (3)写出不等式组的解集． 跟踪训练1　解下列不等式组： (1) (2) 解　(1)解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为∅. (2)解不等式①，得x＞－，解不等式②，得x≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知不等式组的解集为. 二 、含一个绝对值的不等式的解法 例2　解下列不等式： (1)|2x＋5|＜7； (2)2≤|x－2|≤4. 解　(1)原不等式等价于－7＜2x＋5＜7. ∴－12＜2x＜2， ∴－6＜x＜1， ∴原不等式的解集为(－6,1)． (2)原不等式等价于 由①得x－2≤－2或x－2≥2， ∴x≤0或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4， ∴－2≤x≤6. ∴原不等式的解集为[－2,0]∪[4,6]． 反思感悟　 |ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法 (1)当c＞0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c. (2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|＜c的解集为∅. (3)当c＜0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅. 跟踪训练2　解下列不等式： (1)|4－3x|＞5； (2)4＜|3x－2|＜8. 解　(1) 由|4－3x|>5可得4－3x>5或4－3x<－5， 所以x<－或x>3， 即原不等式的解集为∪(3，＋∞)． (2)由4＜|3x－2|＜8，得 ⇒⇒ ∴－2＜x＜－或2＜x＜. ∴原不等式的解集为∪. 三、含两个绝对值的不等式的解法 例3　解不等式|x＋7|－|x－2|≤3. 解　 分段讨论法：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2. ①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3， ∴－9≤3成立， ∴x＜－7. ②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3， 即2x≤－2，∴x≤－1， ∴－7≤x≤－1. ③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3， 即9≤3不成立， ∴x∈∅. ∴原不等式的解集为(－∞，－1]. 延伸探究　你能用数轴上两点之间的距离(几何法)解答本题吗？ 解　|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为(x))到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤