第二章 2.2.3 一元二次不等式的解法（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）

2.2.3　一元二次不等式的解法 学习目标　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的概念.2.掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法.3.会解简单的分式不等式． 知识点一　一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等． 思考　不等式ax2＋x－1>0一定表示一元二次不等式吗？ 答案　不一定．当a＝0时，表示一元一次不等式． 知识点二　一元二次不等式的解法 1．因式分解法 如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)． 2．配方法 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集． 1．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　　) A. B. C．∅ D．R 答案　D 解析　因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0， 所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R. 2．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是(　　) A. B.∪[2，＋∞) C. D. 答案　A 解析　原不等式等价于(x－2)≤0， 解得≤x≤2. 3．不等式x(x－2)>0的解集为________，不等式x(x－2)<0的解集为________． 答案　{x|x<0或x>2}　{x|0<x<2} 4．不等式<0的解集为________． 答案　(－1,1) 一、不含参数的一元二次不等式的解法 例1　求下列不等式的解集： (1)x2－10x－600＞0； (2)－2x2＋5x－2＜0. 解　(1)因为x2－10x－600＝(x＋20)(x－30)，所以原不等式等价于(x＋20)(x－30)＞0， 因此所求解集为(－∞，－20)∪(30，＋∞)． (2)因为－2x2＋5x－2＝－2 ＝－2＝－22＋， 所以－22＋＜0， 即2＞. 所以x－＞或x－＜－， 解得x＞2或x＜. 所以原不等式的解集为∪(2，＋∞)． 反思感悟　解一元二次不等式的一般步骤 第一步：首先把各项系数变为整数，二次项系数变成正的； 第二步：分解为两个因式的乘积的形式或配方成完全平方式形式； 第三步：写出不等式的解集． 跟踪训练1　求下列不等式的解集： (1)－x2＋3x－5>0. (2)－2<x2－3x≤10. 解　 (1)原不等式可化为x2－6x＋10<0， 即(x－3)2＋1<0， 因此原不等式的解集为∅. (2)原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1. 不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|－2≤x<1或2<x≤5}． 二、含参数的一元二次不等式的解法 例2　求不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)的解集． 解　　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1＜0， 解得x＞1. ②当a＜0时，原不等式化为(x－1)＞0， 解得x＜或x＞1. ③当a＞0时，原不等式化为(x－1)＜0. 若a＝1，即＝1时，不等式无解； 若a＞1，即＜1时， 解得＜x＜1； 若0＜a＜1，即＞1时， 解得1＜x＜. 综上可知，当a＜0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a＞1时，不等式的解集为. 反思感悟　解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． 跟踪训练2　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0. 解　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2. 由a2－a＝a(a－1)可知： ①当a<0或a>1时，a2>a. 解原不等式得x>a2或x<a， 不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞)． ②当0<a<1时，a2<a， 解原不等式得x>a或x<a2， 不等式的解集为(－∞，a2)∪(a，＋∞)． ③当a＝0时，原不等式为x2>0， ∴x≠0，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ④当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0， ∴x≠1，不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞)． 综上可知， 当a<0或a>1时，原不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞)； 当0<a<1时，原不等式的解集为(－∞，a2)∪(a，＋∞)； 当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a＝1时，原不