第一章 1.1.1 第1课时 集合的概念（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）

§1.1　集　合 1.1.1　集合及其表示方法 第1课时　集合的概念 学习目标　1.了解集合和元素的含义.2.理解集合中元素的特点.3.体会元素与集合的“属于”和“不属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用.4.理解集合相等的概念． 知识点一　元素与集合的概念 1．集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合．通常用英文大写字母A，B，C…表示． 2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c…表示． 3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅. 知识点二　元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”． 2．不属于：如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”． 知识点三　集合元素的特点 1．确定性：集合的元素必须是确定的． 2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的． 3．无序性：集合中的元素可以任意排列． 思考　我们班“个子比较高的同学”能不能构成一个集合？ 答案　不能，因为违反了集合中元素的确定性，也就是“个子比较高的同学”没有明确的标准． 知识点四　集合相等 给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A＝B. 知识点五　集合的分类 1．有限集：含有有限个元素的集合． 2．无限集：含有无限个元素的集合． 知识点六　几种常见的数集 数集 自然数集 (非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋或N* Z Q R 1．组成集合的元素一定是数．(　×　) 2．接近于0的数可以组成一个集合．(　×　) 3．0∈N，但0∉N＋.(　√　) 4．一个集合中可以找到两个相同的元素．(　×　) 一、集合概念的理解 例1　(多选)下列说法正确的是(　　) A．不超过20的所有自然数构成的集合有21个元素 B．方程x2－9＝0的所有实数解能构成一个含有两个元素的集合 C．由实数－1,0和方程x2＝1的解能构成四个元素组成的集合 D．由2,3,4,5构成的集合和3,2,5,4构成的集合是相等的集合 答案　ABD 解析　对于A，不超过20的所有自然数有0,1，…，20，所以它们能够构成一个含有21个元素的集合；对于B，方程x2－9＝0的实数解有－3和3，它们能够构成一个集合，且含有两个元素；对于C，由于x2＝1的解有－1和1，它们同－1,0构成集合时－1只能算作一个元素，所以该选项不正确；对于D，由元素的无序性，可以知道这两个集合是相等的，所以D正确． 反思感悟　集合中元素的三个特点 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关． 跟踪训练1　下列说法中，正确的有________．(填序号) ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②当今世界上的高科技产品构成一个集合； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到的两个集合相等． 答案　③ 解析　①不正确．book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3. ②不正确． ③正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关． 二、元素与集合的关系 例2　(多选)下列关系中正确的为(　　) A.∈Q B．－1∉N C．π∉R D．|－4|∈Z 答案　BD 解析　∵是无理数，∴∉Q，故A错误；－1∉N，故B正确；∵π是实数，∴π∈R，故C错误；∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故D正确． 反思感悟　判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 跟踪训练2　给出下列关系：①∈R；②|－1|∉N；③|－3|∈Q；④0∉N.其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　①③正确；②④不正确． 三、元素特点的应用 例3　已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a. 解　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a， ∴a＝－1或a＝－. 当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去． 当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性． ∴a＝－. 延伸探究 若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值． 解　由a∈A，可得a－2＝a，或2a2＋5a＝a，或12＝a， 当a－2＝a时