第一章 1.1.2 集合的基本关系（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）

1.1.2　集合的基本关系 学习目标　1.理解集合之间的包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集.3.了解维恩图的含义，会用维恩图表示两个集合间的关系． 知识点一　子集与真子集 1．子集与真子集的定义 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 A⊆B(或B⊇ A) 真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 AB(或BA) 2.维恩图 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图． 3．子集、真子集的性质 (1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A. (2)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A. 思考　(1)任何两个集合之间是否有包含关系？ (2)符号“∈”与“⊆”有何不同？ 答案　(1)不一定，如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． (2)符号“∈”表示元素与集合间的关系； 而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 知识点二　集合相等与子集的关系 1．一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”． 2．由集合相等以及子集的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A. 1．若A⊆B，则B中至少有一个元素不属于A.(　×　) 2．若A⊆B，则要么AB，要么A＝B.(　√　) 3．空集没有真子集．(　√　) 4．若A⊆B，则B不会是空集．(　×　) 5．若A＝B，则必有A⊆B.(　√　) 一、集合间关系的判断 例1　指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝(－1,4)，B＝{x|x－5<0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}． 解　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故NM. 反思感悟　(1)判断集合关系的方法 ①观察法：一一列举观察． ②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． ③数形结合法：利用数轴或维恩图． (2)证明集合间的包含关系，一般用定义． 跟踪训练1　(1)能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是(　　) 答案　B 解析　解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的维恩图如选项B所示． (2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空： ①A________B；②A________C； ③{2}________C；④2________C. 答案　①＝　②　③　④∈ 解析　集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故①A＝B；②AC；③{2}C；④2∈C. 二、子集、真子集的个数问题 例2　已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况． 解　由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有5个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． 反思感悟　公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集． (2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集． (3)含n(n≥1)个元素的集合有(2n－2)个非空真子集． 跟踪训练2　已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集． 解　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}， ∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}． ∴A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)