第一章 1.1.3 第2课时 补集（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）

第2课时　补　集 学习目标　1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用维恩图、数轴进行集合的运算． 知识点一　全集 (1)定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 思考　全集一定是实数集R吗？ 答案　不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.若只讨论大于0小于5的实数，可选{x|0<x<5}为全集．通常也把给定的集合作为全集． 知识点二　补集 文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合称为A在U中的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 图形语言 知识点三　补集运算的性质 给定全集U及其任意一个子集A，有 ①A∪(∁UA)＝U； ②A∩(∁UA)＝∅； ③∁U(∁UA)＝A. 1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁UM等于(　　) A．{2,4,6} B．{1,3,5} C．{1,2,4} D．U 答案　A 解析　因为集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，所以∁UM＝{2,4,6}． 2．已知全集U＝R，区间P＝[－1,1]，那么∁UP等于(　　) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案　D 解析　因为P＝[－1,1]，U＝R， 所以∁UP＝∁RP＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 3．若全集U＝{0,1,2,3}且∁UA＝{2}，则集合A的真子集共有(　　) A．3个 B．5个 C．7个 D．8个 答案　C 解析　A＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7个． 4．设全集为U，M＝{1,2}，∁UM＝{3}，则U＝________. 答案　{1,2,3} 解析　U＝M∪(∁UM)＝{1,2}∪{3}＝{1,2,3}． 5．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∪B)＝________. 答案　{5} 解析　∵A∪B＝{1,2,3,4}，∴∁U(A∪B)＝{5}． 一、全集与补集 例1　(1)若区间U＝[－2,2]，则A＝[－2,0]的补集∁UA为(　　) A．(0,2) B．[0,2) C．(0,2] D．[0,2] 答案　C 解析　借助数轴易得∁UA＝(0,2]． (2)设U＝{x|－5≤x<－2或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁UA＝________，∁UB＝________. 答案　{－5，－4,3,4}　{－5，－4,5} 解析　方法一　在集合U中， 因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5， 所以U＝{－5，－4，－3,3,4,5}． 又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}， 所以∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}． 方法二　可用维恩图表示 则∁UA＝{－5，－4,3,4}， ∁UB＝{－5，－4,5}． 反思感悟　求集合的补集的方法 (1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解． (2)维恩图法：借助维恩图可直观地求出全集及补集． (3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点是否包含． 跟踪训练1　(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________. 答案　{2,3,5,7} 解析　方法一　(定义法)： 因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， 所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}． 又∁UB＝{1,4,6}， 所以B＝{2,3,5,7}． 方法二　(维恩图法)： 满足题意的维恩图如图所示． 由图可知B＝{2,3,5,7}． (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________. 答案　{x|x<－3或x＝5} 解析　将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3或x＝5}． 二、交、并、补的综合运算 例2　(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)等于(　　) A．{2,5} B．{3,6} C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8} 答案　A 解析　因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以∁UB＝{2,5